Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28616 / 22648
↖ ↑ ↗
← N 48.487487°
W 22.807617°		 ← 404.82 m → N 48.487487°
W 22.802124°		 →
↑
404.88 m
↓
↑
404.88 m
↓
N 48.483846°
W 22.807617°		 ← 404.85 m →
163 908 m²		 N 48.483846°
W 22.802124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436653137207031 y=0.345588684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436653137207031 × 216)
    floor (0.436653137207031 × 65536)
    floor (28616.5)     		tx = 28616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345588684082031 × 216)
    floor (0.345588684082031 × 65536)
    floor (22648.5)     		ty = 22648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28616 / 22648 ti = "16/28616/22648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28616/22648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28616 ÷ 216
    28616 ÷ 65536     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22648 ÷ 216
    22648 ÷ 65536     		y = 0.3455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970242848309937))-π/2
    2×atan(2.6385851575009)-π/2
    2×1.20853130593336-π/2
    2.41706261186673-1.57079632675     		φ = 0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28616 KachelY 22648 -0.39806801 0.84626629 -22.807617 48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 28617 KachelY 22648 -0.39797214 0.84626629 -22.802124 48.487487
    Unten links KachelX 28616 KachelY + 1 22649 -0.39806801 0.84620274 -22.807617 48.483846
    Unten rechts KachelX + 1 28617 KachelY + 1 22649 -0.39797214 0.84620274 -22.802124 48.483846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84626629-0.84620274) × R
    6.35500000000233e-05 × 6371000     		dl = 404.877050000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84626629-0.84620274) × R
    6.35500000000233e-05 × 6371000     		dr = 404.877050000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39797214) × cos(0.84626629) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 404.820118415402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39797214) × cos(0.84620274) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.662831187857023 × 6371000     		du = 404.849183117868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84626629)-sin(0.84620274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662831187857023)×R²
    abs(-0.39797214--0.39806801)×4.75855999308994e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.75855999308994e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.75855999308994e-05×40589641000000     		ar = 163908.259195385m²