Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28615 / 20424
↖ ↑ ↗
← N 76.875787°
W101.406555°		 ← 69.35 m → N 76.875787°
W101.403808°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.875163°
W101.406555°		 ← 69.35 m →
4 812 m²		 N 76.875163°
W101.403808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218318939208984 y=0.155826568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218318939208984 × 217)
    floor (0.218318939208984 × 131072)
    floor (28615.5)     		tx = 28615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155826568603516 × 217)
    floor (0.155826568603516 × 131072)
    floor (20424.5)     		ty = 20424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28615 / 20424 ti = "17/28615/20424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28615/20424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28615 ÷ 217
    28615 ÷ 131072     		x = 0.218315124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20424 ÷ 217
    20424 ÷ 131072     		y = 0.15582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218315124511719 × 2 - 1) × π
    -0.563369750976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.76987827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15582275390625 × 2 - 1) × π
    0.6883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16252941565997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76987827} λ = -1.76987827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16252941565997))-π/2
    2×atan(8.6930983319737)-π/2
    2×1.45626595664141-π/2
    2.91253191328282-1.57079632675     		φ = 1.34173559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76987827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.406555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34173559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.875787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28615 KachelY 20424 -1.76987827 1.34173559 -101.406555 76.875787
    Oben rechts KachelX + 1 28616 KachelY 20424 -1.76983033 1.34173559 -101.403808 76.875787
    Unten links KachelX 28615 KachelY + 1 20425 -1.76987827 1.34172470 -101.406555 76.875163
    Unten rechts KachelX + 1 28616 KachelY + 1 20425 -1.76983033 1.34172470 -101.403808 76.875163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34173559-1.34172470) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34173559-1.34172470) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76987827--1.76983033) × cos(1.34173559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227062894088153 × 6371000     		do = 69.3508524533702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76987827--1.76983033) × cos(1.34172470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227073499628938 × 6371000     		du = 69.3540916585126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34173559)-sin(1.34172470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227062894088153-0.227073499628938)×R²
    abs(-1.76983033--1.76987827)×1.06055407854411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06055407854411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06055407854411e-05×40589641000000     		ar = 4811.68768811818m²