Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28614 / 21058
↖ ↑ ↗
← N 53.949621°
W 22.818603°		 ← 359.45 m → N 53.949621°
W 22.813110°		 →
↑
359.45 m
↓
↑
359.45 m
↓
N 53.946388°
W 22.818603°		 ← 359.47 m →
129 209 m²		 N 53.946388°
W 22.813110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436622619628906 y=0.321327209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436622619628906 × 216)
    floor (0.436622619628906 × 65536)
    floor (28614.5)     		tx = 28614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321327209472656 × 216)
    floor (0.321327209472656 × 65536)
    floor (21058.5)     		ty = 21058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28614 / 21058 ti = "16/28614/21058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28614/21058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28614 ÷ 216
    28614 ÷ 65536     		x = 0.436614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21058 ÷ 216
    21058 ÷ 65536     		y = 0.321319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321319580078125 × 2 - 1) × π
    0.35736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12268218910172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39825976} λ = -0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12268218910172))-π/2
    2×atan(3.07308575619125)-π/2
    2×1.25619741837903-π/2
    2.51239483675806-1.57079632675     		φ = 0.94159851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94159851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.949621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28614 KachelY 21058 -0.39825976 0.94159851 -22.818603 53.949621
    Oben rechts KachelX + 1 28615 KachelY 21058 -0.39816389 0.94159851 -22.813110 53.949621
    Unten links KachelX 28614 KachelY + 1 21059 -0.39825976 0.94154209 -22.818603 53.946388
    Unten rechts KachelX + 1 28615 KachelY + 1 21059 -0.39816389 0.94154209 -22.813110 53.946388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94159851-0.94154209) × R
    5.6420000000057e-05 × 6371000     		dl = 359.451820000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94159851-0.94154209) × R
    5.6420000000057e-05 × 6371000     		dr = 359.451820000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39825976--0.39816389) × cos(0.94159851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588496382358662 × 6371000     		do = 359.446393033907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39825976--0.39816389) × cos(0.94154209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588541996983537 × 6371000     		du = 359.474253888913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94159851)-sin(0.94154209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588496382358662-0.588541996983537)×R²
    abs(-0.39816389--0.39825976)×4.56146248746236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56146248746236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56146248746236e-05×40589641000000     		ar = 129208.667520672m²