Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28613 / 19421
↖ ↑ ↗
← N 58.913156°
W 22.824097°		 ← 315.41 m → N 58.913156°
W 22.818603°		 →
↑
315.43 m
↓
↑
315.43 m
↓
N 58.910319°
W 22.824097°		 ← 315.43 m →
99 492 m²		 N 58.910319°
W 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436607360839844 y=0.296348571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436607360839844 × 216)
    floor (0.436607360839844 × 65536)
    floor (28613.5)     		tx = 28613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296348571777344 × 216)
    floor (0.296348571777344 × 65536)
    floor (19421.5)     		ty = 19421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28613 / 19421 ti = "16/28613/19421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28613/19421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28613 ÷ 216
    28613 ÷ 65536     		x = 0.436599731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19421 ÷ 216
    19421 ÷ 65536     		y = 0.296340942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436599731445312 × 2 - 1) × π
    -0.126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39835564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296340942382812 × 2 - 1) × π
    0.407318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27962759845778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39835564} λ = -0.39835564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27962759845778))-π/2
    2×atan(3.59530058075394)-π/2
    2×1.29951243339544-π/2
    2.59902486679088-1.57079632675     		φ = 1.02822854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39835564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.824097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02822854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.913156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28613 KachelY 19421 -0.39835564 1.02822854 -22.824097 58.913156
    Oben rechts KachelX + 1 28614 KachelY 19421 -0.39825976 1.02822854 -22.818603 58.913156
    Unten links KachelX 28613 KachelY + 1 19422 -0.39835564 1.02817903 -22.824097 58.910319
    Unten rechts KachelX + 1 28614 KachelY + 1 19422 -0.39825976 1.02817903 -22.818603 58.910319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02822854-1.02817903) × R
    4.95099999999749e-05 × 6371000     		dl = 315.42820999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02822854-1.02817903) × R
    4.95099999999749e-05 × 6371000     		dr = 315.42820999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39835564--0.39825976) × cos(1.02822854) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516336707274349 × 6371000     		do = 315.405041816838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39835564--0.39825976) × cos(1.02817903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516379106295701 × 6371000     		du = 315.430941321782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02822854)-sin(1.02817903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516336707274349-0.516379106295701)×R²
    abs(-0.39825976--0.39835564)×4.23990213520575e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23990213520575e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23990213520575e-05×40589641000000     		ar = 99491.7325025378m²