Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28612 / 22626
↖ ↑ ↗
← N 48.567520°
W 22.829590°		 ← 404.18 m → N 48.567520°
W 22.824097°		 →
↑
404.24 m
↓
↑
404.24 m
↓
N 48.563885°
W 22.829590°		 ← 404.21 m →
163 392 m²		 N 48.563885°
W 22.824097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436592102050781 y=0.345252990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436592102050781 × 216)
    floor (0.436592102050781 × 65536)
    floor (28612.5)     		tx = 28612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345252990722656 × 216)
    floor (0.345252990722656 × 65536)
    floor (22626.5)     		ty = 22626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28612 / 22626 ti = "16/28612/22626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28612/22626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28612 ÷ 216
    28612 ÷ 65536     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22626 ÷ 216
    22626 ÷ 65536     		y = 0.345245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345245361328125 × 2 - 1) × π
    0.30950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.972352071893219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972352071893219))-π/2
    2×atan(2.64415639697098)-π/2
    2×1.20922973341532-π/2
    2.41845946683063-1.57079632675     		φ = 0.84766314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84766314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.567520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28612 KachelY 22626 -0.39845151 0.84766314 -22.829590 48.567520
    Oben rechts KachelX + 1 28613 KachelY 22626 -0.39835564 0.84766314 -22.824097 48.567520
    Unten links KachelX 28612 KachelY + 1 22627 -0.39845151 0.84759969 -22.829590 48.563885
    Unten rechts KachelX + 1 28613 KachelY + 1 22627 -0.39835564 0.84759969 -22.824097 48.563885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84766314-0.84759969) × R
    6.34499999999649e-05 × 6371000     		dl = 404.239949999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84766314-0.84759969) × R
    6.34499999999649e-05 × 6371000     		dr = 404.239949999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39835564) × cos(0.84766314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661736979359643 × 6371000     		do = 404.180853949604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39835564) × cos(0.84759969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661784548781018 × 6371000     		du = 404.209908770405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84766314)-sin(0.84759969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661736979359643-0.661784548781018)×R²
    abs(-0.39835564--0.39845151)×4.75694213744049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75694213744049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75694213744049e-05×40589641000000     		ar = 163391.920805916m²