Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28611 / 22629
↖ ↑ ↗
← N 48.556614°
W 22.835083°		 ← 404.27 m → N 48.556614°
W 22.829590°		 →
↑
404.30 m
↓
↑
404.30 m
↓
N 48.552978°
W 22.835083°		 ← 404.30 m →
163 453 m²		 N 48.552978°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436576843261719 y=0.345298767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436576843261719 × 216)
    floor (0.436576843261719 × 65536)
    floor (28611.5)     		tx = 28611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345298767089844 × 216)
    floor (0.345298767089844 × 65536)
    floor (22629.5)     		ty = 22629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28611 / 22629 ti = "16/28611/22629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28611/22629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28611 ÷ 216
    28611 ÷ 65536     		x = 0.436569213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22629 ÷ 216
    22629 ÷ 65536     		y = 0.345291137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436569213867188 × 2 - 1) × π
    -0.126861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39854738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345291137695312 × 2 - 1) × π
    0.309417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.972064450495499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39854738} λ = -0.39854738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972064450495499))-π/2
    2×atan(2.64339599037214)-π/2
    2×1.20913455829701-π/2
    2.41826911659403-1.57079632675     		φ = 0.84747279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39854738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.835083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84747279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.556614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28611 KachelY 22629 -0.39854738 0.84747279 -22.835083 48.556614
    Oben rechts KachelX + 1 28612 KachelY 22629 -0.39845151 0.84747279 -22.829590 48.556614
    Unten links KachelX 28611 KachelY + 1 22630 -0.39854738 0.84740933 -22.835083 48.552978
    Unten rechts KachelX + 1 28612 KachelY + 1 22630 -0.39845151 0.84740933 -22.829590 48.552978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84747279-0.84740933) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dl = 404.303660000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84747279-0.84740933) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dr = 404.303660000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39854738--0.39845151) × cos(0.84747279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		do = 404.268013529962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39854738--0.39845151) × cos(0.84740933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661927248554375 × 6371000     		du = 404.297068046754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84747279)-sin(0.84740933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661879679630735-0.661927248554375)×R²
    abs(-0.39845151--0.39854738)×4.75689236406618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75689236406618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75689236406618e-05×40589641000000     		ar = 163452.910970022m²