Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28611 / 20667
↖ ↑ ↗
← N 76.723377°
W101.417542°		 ← 70.14 m → N 76.723377°
W101.414795°		 →
↑
70.14 m
↓
↑
70.14 m
↓
N 76.722747°
W101.417542°		 ← 70.15 m →
4 920 m²		 N 76.722747°
W101.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218288421630859 y=0.157680511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218288421630859 × 217)
    floor (0.218288421630859 × 131072)
    floor (28611.5)     		tx = 28611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157680511474609 × 217)
    floor (0.157680511474609 × 131072)
    floor (20667.5)     		ty = 20667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28611 / 20667 ti = "17/28611/20667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28611/20667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28611 ÷ 217
    28611 ÷ 131072     		x = 0.218284606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20667 ÷ 217
    20667 ÷ 131072     		y = 0.157676696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218284606933594 × 2 - 1) × π
    -0.563430786132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.77007002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157676696777344 × 2 - 1) × π
    0.684646606445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1508807490523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77007002} λ = -1.77007002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1508807490523))-π/2
    2×atan(8.59242283377153)-π/2
    2×1.45493593833162-π/2
    2.90987187666324-1.57079632675     		φ = 1.33907555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77007002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.417542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33907555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.723377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28611 KachelY 20667 -1.77007002 1.33907555 -101.417542 76.723377
    Oben rechts KachelX + 1 28612 KachelY 20667 -1.77002208 1.33907555 -101.414795 76.723377
    Unten links KachelX 28611 KachelY + 1 20668 -1.77007002 1.33906454 -101.417542 76.722747
    Unten rechts KachelX + 1 28612 KachelY + 1 20668 -1.77002208 1.33906454 -101.414795 76.722747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33907555-1.33906454) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dl = 70.1447099995061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33907555-1.33906454) × R
    1.10099999999225e-05 × 6371000     		dr = 70.1447099995061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77007002--1.77002208) × cos(1.33907555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229652647717887 × 6371000     		do = 70.141829872149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77007002--1.77002208) × cos(1.33906454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229663363435902 × 6371000     		du = 70.1451027282532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33907555)-sin(1.33906454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229652647717887-0.229663363435902)×R²
    abs(-1.77002208--1.77007002)×1.07157180144202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07157180144202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07157180144202e-05×40589641000000     		ar = 4920.19310210461m²