Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28611 / 19142
↖ ↑ ↗
← N 59.695471°
W 22.835083°		 ← 308.20 m → N 59.695471°
W 22.829590°		 →
↑
308.23 m
↓
↑
308.23 m
↓
N 59.692699°
W 22.835083°		 ← 308.23 m →
95 000 m²		 N 59.692699°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436576843261719 y=0.292091369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436576843261719 × 216)
    floor (0.436576843261719 × 65536)
    floor (28611.5)     		tx = 28611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292091369628906 × 216)
    floor (0.292091369628906 × 65536)
    floor (19142.5)     		ty = 19142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28611 / 19142 ti = "16/28611/19142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28611/19142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28611 ÷ 216
    28611 ÷ 65536     		x = 0.436569213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19142 ÷ 216
    19142 ÷ 65536     		y = 0.292083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436569213867188 × 2 - 1) × π
    -0.126861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39854738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292083740234375 × 2 - 1) × π
    0.41583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30637638844577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39854738} λ = -0.39854738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30637638844577))-π/2
    2×atan(3.69276828103071)-π/2
    2×1.30633941632365-π/2
    2.6126788326473-1.57079632675     		φ = 1.04188251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39854738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.835083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04188251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.695471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28611 KachelY 19142 -0.39854738 1.04188251 -22.835083 59.695471
    Oben rechts KachelX + 1 28612 KachelY 19142 -0.39845151 1.04188251 -22.829590 59.695471
    Unten links KachelX 28611 KachelY + 1 19143 -0.39854738 1.04183413 -22.835083 59.692699
    Unten rechts KachelX + 1 28612 KachelY + 1 19143 -0.39845151 1.04183413 -22.829590 59.692699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04188251-1.04183413) × R
    4.8379999999959e-05 × 6371000     		dl = 308.228979999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04188251-1.04183413) × R
    4.8379999999959e-05 × 6371000     		dr = 308.228979999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39854738--0.39845151) × cos(1.04188251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504595876627326 × 6371000     		do = 308.200990236393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39854738--0.39845151) × cos(1.04183413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504637645183764 × 6371000     		du = 308.226501959835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04188251)-sin(1.04183413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504595876627326-0.504637645183764)×R²
    abs(-0.39845151--0.39854738)×4.17685564376713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17685564376713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17685564376713e-05×40589641000000     		ar = 95000.4086002726m²