Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28610 / 22634
↖ ↑ ↗
← N 48.538432°
W 22.840576°		 ← 404.46 m → N 48.538432°
W 22.835083°		 →
↑
404.43 m
↓
↑
404.43 m
↓
N 48.534795°
W 22.840576°		 ← 404.48 m →
163 580 m²		 N 48.534795°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436561584472656 y=0.345375061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436561584472656 × 216)
    floor (0.436561584472656 × 65536)
    floor (28610.5)     		tx = 28610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345375061035156 × 216)
    floor (0.345375061035156 × 65536)
    floor (22634.5)     		ty = 22634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28610 / 22634 ti = "16/28610/22634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28610/22634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28610 ÷ 216
    28610 ÷ 65536     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22634 ÷ 216
    22634 ÷ 65536     		y = 0.345367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345367431640625 × 2 - 1) × π
    0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971585081499298))-π/2
    2×atan(2.64212913196025)-π/2
    2×1.20897588749416-π/2
    2.41795177498832-1.57079632675     		φ = 0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28610 KachelY 22634 -0.39864326 0.84715545 -22.840576 48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 28611 KachelY 22634 -0.39854738 0.84715545 -22.835083 48.538432
    Unten links KachelX 28610 KachelY + 1 22635 -0.39864326 0.84709197 -22.840576 48.534795
    Unten rechts KachelX + 1 28611 KachelY + 1 22635 -0.39854738 0.84709197 -22.835083 48.534795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84715545-0.84709197) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dl = 404.43108000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84715545-0.84709197) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dr = 404.43108000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.84715545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 404.455471647648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.84709197) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		du = 404.48453020607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84715545)-sin(0.84709197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662165098144808)×R²
    abs(-0.39854738--0.39864326)×4.75705787310599e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75705787310599e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75705787310599e-05×40589641000000     		ar = 163580.239357674m²