Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28610 / 21063
↖ ↑ ↗
← N 53.933454°
W 22.840576°		 ← 359.62 m → N 53.933454°
W 22.835083°		 →
↑
359.64 m
↓
↑
359.64 m
↓
N 53.930220°
W 22.840576°		 ← 359.65 m →
129 341 m²		 N 53.930220°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436561584472656 y=0.321403503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436561584472656 × 216)
    floor (0.436561584472656 × 65536)
    floor (28610.5)     		tx = 28610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321403503417969 × 216)
    floor (0.321403503417969 × 65536)
    floor (21063.5)     		ty = 21063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28610 / 21063 ti = "16/28610/21063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28610/21063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28610 ÷ 216
    28610 ÷ 65536     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21063 ÷ 216
    21063 ÷ 65536     		y = 0.321395874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321395874023438 × 2 - 1) × π
    0.357208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12220282010551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12220282010551))-π/2
    2×atan(3.07161296718996)-π/2
    2×1.2560563375833-π/2
    2.51211267516659-1.57079632675     		φ = 0.94131635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94131635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.933454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28610 KachelY 21063 -0.39864326 0.94131635 -22.840576 53.933454
    Oben rechts KachelX + 1 28611 KachelY 21063 -0.39854738 0.94131635 -22.835083 53.933454
    Unten links KachelX 28610 KachelY + 1 21064 -0.39864326 0.94125990 -22.840576 53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 28611 KachelY + 1 21064 -0.39854738 0.94125990 -22.835083 53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94131635-0.94125990) × R
    5.64499999999857e-05 × 6371000     		dl = 359.642949999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94131635-0.94125990) × R
    5.64499999999857e-05 × 6371000     		dr = 359.642949999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.94131635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588724485247045 × 6371000     		do = 359.623223125368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.94125990) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 359.651095974907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94131635)-sin(0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588724485247045-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.39854738--0.39864326)×4.56295031633358e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56295031633358e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56295031633358e-05×40589641000000     		ar = 129340.969024629m²