Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28610 / 21054
↖ ↑ ↗
← N 53.962549°
W 22.840576°		 ← 359.37 m → N 53.962549°
W 22.835083°		 →
↑
359.39 m
↓
↑
359.39 m
↓
N 53.959317°
W 22.840576°		 ← 359.40 m →
129 159 m²		 N 53.959317°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436561584472656 y=0.321266174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436561584472656 × 216)
    floor (0.436561584472656 × 65536)
    floor (28610.5)     		tx = 28610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321266174316406 × 216)
    floor (0.321266174316406 × 65536)
    floor (21054.5)     		ty = 21054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28610 / 21054 ti = "16/28610/21054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28610/21054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28610 ÷ 216
    28610 ÷ 65536     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21054 ÷ 216
    21054 ÷ 65536     		y = 0.321258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321258544921875 × 2 - 1) × π
    0.35748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12306568429868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12306568429868))-π/2
    2×atan(3.07426449582464)-π/2
    2×1.25631024365414-π/2
    2.51262048730828-1.57079632675     		φ = 0.94182416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94182416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.962549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28610 KachelY 21054 -0.39864326 0.94182416 -22.840576 53.962549
    Oben rechts KachelX + 1 28611 KachelY 21054 -0.39854738 0.94182416 -22.835083 53.962549
    Unten links KachelX 28610 KachelY + 1 21055 -0.39864326 0.94176775 -22.840576 53.959317
    Unten rechts KachelX + 1 28611 KachelY + 1 21055 -0.39854738 0.94176775 -22.835083 53.959317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94182416-0.94176775) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dl = 359.388110000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94182416-0.94176775) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dr = 359.388110000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.94182416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588313929386482 × 6371000     		do = 359.37243447032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39854738) × cos(0.94176775) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		du = 359.400297868212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94182416)-sin(0.94176775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588313929386482-0.58835954341674)×R²
    abs(-0.39854738--0.39864326)×4.56140302584895e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56140302584895e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56140302584895e-05×40589641000000     		ar = 129159.186931826m²