Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28609 / 28863
↖ ↑ ↗
← N 70.437719°
W101.423035°		 ← 102.24 m → N 70.437719°
W101.420288°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
N 70.436799°
W101.423035°		 ← 102.25 m →
10 462 m²		 N 70.436799°
W101.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218273162841797 y=0.220211029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218273162841797 × 217)
    floor (0.218273162841797 × 131072)
    floor (28609.5)     		tx = 28609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220211029052734 × 217)
    floor (0.220211029052734 × 131072)
    floor (28863.5)     		ty = 28863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28609 / 28863 ti = "17/28609/28863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28609/28863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28609 ÷ 217
    28609 ÷ 131072     		x = 0.218269348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28863 ÷ 217
    28863 ÷ 131072     		y = 0.220207214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218269348144531 × 2 - 1) × π
    -0.563461303710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.77016589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220207214355469 × 2 - 1) × π
    0.559585571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.75798991976632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77016589} λ = -1.77016589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75798991976632))-π/2
    2×atan(5.8007656633744)-π/2
    2×1.40008321593246-π/2
    2.80016643186491-1.57079632675     		φ = 1.22937011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77016589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22937011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.437719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28609 KachelY 28863 -1.77016589 1.22937011 -101.423035 70.437719
    Oben rechts KachelX + 1 28610 KachelY 28863 -1.77011796 1.22937011 -101.420288 70.437719
    Unten links KachelX 28609 KachelY + 1 28864 -1.77016589 1.22935405 -101.423035 70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 28610 KachelY + 1 28864 -1.77011796 1.22935405 -101.420288 70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22937011-1.22935405) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22937011-1.22935405) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77016589--1.77011796) × cos(1.22937011) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.33483132505038 × 6371000     		do = 102.244773124563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77016589--1.77011796) × cos(1.22935405) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 102.249394150701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22937011)-sin(1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33483132505038-0.334846457993195)×R²
    abs(-1.77011796--1.77016589)×1.51329428154656e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.51329428154656e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.51329428154656e-05×40589641000000     		ar = 10461.7436881742m²