Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28609 / 21053
↖ ↑ ↗
← N 53.965781°
W 22.846069°		 ← 359.31 m → N 53.965781°
W 22.840576°		 →
↑
359.32 m
↓
↑
359.32 m
↓
N 53.962549°
W 22.846069°		 ← 359.33 m →
129 113 m²		 N 53.962549°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436546325683594 y=0.321250915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436546325683594 × 216)
    floor (0.436546325683594 × 65536)
    floor (28609.5)     		tx = 28609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321250915527344 × 216)
    floor (0.321250915527344 × 65536)
    floor (21053.5)     		ty = 21053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28609 / 21053 ti = "16/28609/21053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28609/21053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28609 ÷ 216
    28609 ÷ 65536     		x = 0.436538696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21053 ÷ 216
    21053 ÷ 65536     		y = 0.321243286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436538696289062 × 2 - 1) × π
    -0.126922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39873913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321243286132812 × 2 - 1) × π
    0.357513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12316155809792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39873913} λ = -0.39873913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12316155809792))-π/2
    2×atan(3.07455925137117)-π/2
    2×1.25633844450671-π/2
    2.51267688901342-1.57079632675     		φ = 0.94188056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39873913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.846069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94188056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.965781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28609 KachelY 21053 -0.39873913 0.94188056 -22.846069 53.965781
    Oben rechts KachelX + 1 28610 KachelY 21053 -0.39864326 0.94188056 -22.840576 53.965781
    Unten links KachelX 28609 KachelY + 1 21054 -0.39873913 0.94182416 -22.846069 53.962549
    Unten rechts KachelX + 1 28610 KachelY + 1 21054 -0.39864326 0.94182416 -22.840576 53.962549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94188056-0.94182416) × R
    5.63999999999565e-05 × 6371000     		dl = 359.324399999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94188056-0.94182416) × R
    5.63999999999565e-05 × 6371000     		dr = 359.324399999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(0.94188056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588268321570814 × 6371000     		do = 359.307096293873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(0.94182416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588313929386482 × 6371000     		du = 359.334952989899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94188056)-sin(0.94182416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588268321570814-0.588313929386482)×R²
    abs(-0.39864326--0.39873913)×4.56078156672035e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56078156672035e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56078156672035e-05×40589641000000     		ar = 129112.811620621m²