Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28609 / 19143
↖ ↑ ↗
← N 59.692699°
W 22.846069°		 ← 308.23 m → N 59.692699°
W 22.840576°		 →
↑
308.29 m
↓
↑
308.29 m
↓
N 59.689926°
W 22.846069°		 ← 308.25 m →
95 028 m²		 N 59.689926°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436546325683594 y=0.292106628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436546325683594 × 216)
    floor (0.436546325683594 × 65536)
    floor (28609.5)     		tx = 28609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292106628417969 × 216)
    floor (0.292106628417969 × 65536)
    floor (19143.5)     		ty = 19143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28609 / 19143 ti = "16/28609/19143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28609/19143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28609 ÷ 216
    28609 ÷ 65536     		x = 0.436538696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19143 ÷ 216
    19143 ÷ 65536     		y = 0.292098999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436538696289062 × 2 - 1) × π
    -0.126922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39873913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292098999023438 × 2 - 1) × π
    0.415802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30628051464653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39873913} λ = -0.39873913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30628051464653))-π/2
    2×atan(3.69241425827691)-π/2
    2×1.30631522656048-π/2
    2.61263045312096-1.57079632675     		φ = 1.04183413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39873913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.846069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04183413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.692699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28609 KachelY 19143 -0.39873913 1.04183413 -22.846069 59.692699
    Oben rechts KachelX + 1 28610 KachelY 19143 -0.39864326 1.04183413 -22.840576 59.692699
    Unten links KachelX 28609 KachelY + 1 19144 -0.39873913 1.04178574 -22.846069 59.689926
    Unten rechts KachelX + 1 28610 KachelY + 1 19144 -0.39864326 1.04178574 -22.840576 59.689926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04183413-1.04178574) × R
    4.83900000001203e-05 × 6371000     		dl = 308.292690000766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04183413-1.04178574) × R
    4.83900000001203e-05 × 6371000     		dr = 308.292690000766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(1.04183413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504637645183764 × 6371000     		do = 308.226501959835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(1.04178574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504679421192103 × 6371000     		du = 308.252018234808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04183413)-sin(1.04178574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504637645183764-0.504679421192103)×R²
    abs(-0.39864326--0.39873913)×4.17760083389895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17760083389895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17760083389895e-05×40589641000000     		ar = 95027.9106778644m²