Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28607 / 4545
↖ ↑ ↗
← N 78.204318°
E134.285889°		 ← 249.72 m → N 78.204318°
E134.296875°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
N 78.202072°
E134.285889°		 ← 249.76 m →
62 371 m²		 N 78.202072°
E134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873031616210938 y=0.138717651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873031616210938 × 215)
    floor (0.873031616210938 × 32768)
    floor (28607.5)     		tx = 28607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138717651367188 × 215)
    floor (0.138717651367188 × 32768)
    floor (4545.5)     		ty = 4545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28607 / 4545 ti = "15/28607/4545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28607/4545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28607 ÷ 215
    28607 ÷ 32768     		x = 0.873016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4545 ÷ 215
    4545 ÷ 32768     		y = 0.138702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873016357421875 × 2 - 1) × π
    0.74603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34373090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138702392578125 × 2 - 1) × π
    0.72259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27009981840738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34373090} λ = 2.34373090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27009981840738))-π/2
    2×atan(9.68036704466948)-π/2
    2×1.46785957796412-π/2
    2.93571915592823-1.57079632675     		φ = 1.36492283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34373090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36492283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.204318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28607 KachelY 4545 2.34373090 1.36492283 134.285889 78.204318
    Oben rechts KachelX + 1 28608 KachelY 4545 2.34392264 1.36492283 134.296875 78.204318
    Unten links KachelX 28607 KachelY + 1 4546 2.34373090 1.36488363 134.285889 78.202072
    Unten rechts KachelX + 1 28608 KachelY + 1 4546 2.34392264 1.36488363 134.296875 78.202072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36492283-1.36488363) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36492283-1.36488363) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34373090-2.34392264) × cos(1.36492283) × R
    0.000191739999999996 × 0.204422288767485 × 6371000     		do = 249.717267789171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34373090-2.34392264) × cos(1.36488363) × R
    0.000191739999999996 × 0.204460660816008 × 6371000     		du = 249.764142145066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36492283)-sin(1.36488363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204422288767485-0.204460660816008)×R²
    abs(2.34392264-2.34373090)×3.83720485226391e-05×R²
    0.000191739999999996×3.83720485226391e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.83720485226391e-05×40589641000000     		ar = 62371.042837567m²