Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28607 / 4417
↖ ↑ ↗
← N 78.488360°
E134.285889°		 ← 243.79 m → N 78.488360°
E134.296875°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
N 78.486167°
E134.285889°		 ← 243.83 m →
59 445 m²		 N 78.486167°
E134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873031616210938 y=0.134811401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873031616210938 × 215)
    floor (0.873031616210938 × 32768)
    floor (28607.5)     		tx = 28607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134811401367188 × 215)
    floor (0.134811401367188 × 32768)
    floor (4417.5)     		ty = 4417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28607 / 4417 ti = "15/28607/4417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28607/4417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28607 ÷ 215
    28607 ÷ 32768     		x = 0.873016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4417 ÷ 215
    4417 ÷ 32768     		y = 0.134796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873016357421875 × 2 - 1) × π
    0.74603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34373090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134796142578125 × 2 - 1) × π
    0.73040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29464351101285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34373090} λ = 2.34373090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29464351101285))-π/2
    2×atan(9.92089869068883)-π/2
    2×1.47033831104078-π/2
    2.94067662208156-1.57079632675     		φ = 1.36988030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34373090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36988030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.488360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28607 KachelY 4417 2.34373090 1.36988030 134.285889 78.488360
    Oben rechts KachelX + 1 28608 KachelY 4417 2.34392264 1.36988030 134.296875 78.488360
    Unten links KachelX 28607 KachelY + 1 4418 2.34373090 1.36984203 134.285889 78.486167
    Unten rechts KachelX + 1 28608 KachelY + 1 4418 2.34392264 1.36984203 134.296875 78.486167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36988030-1.36984203) × R
    3.82699999998959e-05 × 6371000     		dl = 243.818169999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36988030-1.36984203) × R
    3.82699999998959e-05 × 6371000     		dr = 243.818169999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34373090-2.34392264) × cos(1.36988030) × R
    0.000191739999999996 × 0.199567014563376 × 6371000     		do = 243.786183581438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34373090-2.34392264) × cos(1.36984203) × R
    0.000191739999999996 × 0.199604514584802 × 6371000     		du = 243.831992690362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36988030)-sin(1.36984203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199567014563376-0.199604514584802)×R²
    abs(2.34392264-2.34373090)×3.75000214265786e-05×R²
    0.000191739999999996×3.75000214265786e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.75000214265786e-05×40589641000000     		ar = 59445.0857057757m²