Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28607 / 42573
↖ ↑ ↗
← S 47.327654°
W 22.857056°		 ← 414.04 m → S 47.327654°
W 22.851562°		 →
↑
413.99 m
↓
↑
413.99 m
↓
S 47.331377°
W 22.857056°		 ← 414.01 m →
171 401 m²		 S 47.331377°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436515808105469 y=0.649620056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436515808105469 × 216)
    floor (0.436515808105469 × 65536)
    floor (28607.5)     		tx = 28607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649620056152344 × 216)
    floor (0.649620056152344 × 65536)
    floor (42573.5)     		ty = 42573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28607 / 42573 ti = "16/28607/42573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28607/42573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28607 ÷ 216
    28607 ÷ 65536     		x = 0.436508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42573 ÷ 216
    42573 ÷ 65536     		y = 0.649612426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436508178710938 × 2 - 1) × π
    -0.126983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39893088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649612426757812 × 2 - 1) × π
    -0.299224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940042601549301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39893088} λ = -0.39893088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940042601549301))-π/2
    2×atan(0.390611194362003)-π/2
    2×0.372386468672557-π/2
    0.744772937345114-1.57079632675     		φ = -0.82602339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39893088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.857056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82602339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.327654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28607 KachelY 42573 -0.39893088 -0.82602339 -22.857056 -47.327654
    Oben rechts KachelX + 1 28608 KachelY 42573 -0.39883500 -0.82602339 -22.851562 -47.327654
    Unten links KachelX 28607 KachelY + 1 42574 -0.39893088 -0.82608837 -22.857056 -47.331377
    Unten rechts KachelX + 1 28608 KachelY + 1 42574 -0.39883500 -0.82608837 -22.851562 -47.331377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82602339--0.82608837) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dl = 413.987579999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82602339--0.82608837) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dr = 413.987579999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39893088--0.39883500) × cos(-0.82602339) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.677804881564668 × 6371000     		do = 414.038115054971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39893088--0.39883500) × cos(-0.82608837) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.677757104119874 × 6371000     		du = 414.008930132108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82602339)-sin(-0.82608837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677804881564668-0.677757104119874)×R²
    abs(-0.39883500--0.39893088)×4.77774447941171e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77774447941171e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77774447941171e-05×40589641000000     		ar = 171400.596241912m²