Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28605 / 8891
↖ ↑ ↗
← N 78.425706°
W 22.868042°		 ← 122.56 m → N 78.425706°
W 22.862549°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 78.424603°
W 22.868042°		 ← 122.57 m →
15 024 m²		 N 78.424603°
W 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436485290527344 y=0.135673522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436485290527344 × 216)
    floor (0.436485290527344 × 65536)
    floor (28605.5)     		tx = 28605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135673522949219 × 216)
    floor (0.135673522949219 × 65536)
    floor (8891.5)     		ty = 8891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28605 / 8891 ti = "16/28605/8891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28605/8891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28605 ÷ 216
    28605 ÷ 65536     		x = 0.436477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8891 ÷ 216
    8891 ÷ 65536     		y = 0.135665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135665893554688 × 2 - 1) × π
    0.728668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28917870445616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39912263} λ = -0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28917870445616))-π/2
    2×atan(9.86683076840131)-π/2
    2×1.46979155096175-π/2
    2.93958310192349-1.57079632675     		φ = 1.36878678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36878678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.425706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28605 KachelY 8891 -0.39912263 1.36878678 -22.868042 78.425706
    Oben rechts KachelX + 1 28606 KachelY 8891 -0.39902675 1.36878678 -22.862549 78.425706
    Unten links KachelX 28605 KachelY + 1 8892 -0.39912263 1.36876754 -22.868042 78.424603
    Unten rechts KachelX + 1 28606 KachelY + 1 8892 -0.39902675 1.36876754 -22.862549 78.424603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36878678-1.36876754) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36878678-1.36876754) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39912263--0.39902675) × cos(1.36878678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200638417978899 × 6371000     		do = 122.56027456726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39912263--0.39902675) × cos(1.36876754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200657266703363 × 6371000     		du = 122.571788338495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36878678)-sin(1.36876754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200638417978899-0.200657266703363)×R²
    abs(-0.39902675--0.39912263)×1.88487244645041e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88487244645041e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88487244645041e-05×40589641000000     		ar = 15023.9039064833m²