Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28605 / 21052
↖ ↑ ↗
← N 53.969012°
W 22.868042°		 ← 359.32 m → N 53.969012°
W 22.862549°		 →
↑
359.32 m
↓
↑
359.32 m
↓
N 53.965781°
W 22.868042°		 ← 359.34 m →
129 116 m²		 N 53.965781°
W 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436485290527344 y=0.321235656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436485290527344 × 216)
    floor (0.436485290527344 × 65536)
    floor (28605.5)     		tx = 28605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321235656738281 × 216)
    floor (0.321235656738281 × 65536)
    floor (21052.5)     		ty = 21052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28605 / 21052 ti = "16/28605/21052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28605/21052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28605 ÷ 216
    28605 ÷ 65536     		x = 0.436477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21052 ÷ 216
    21052 ÷ 65536     		y = 0.32122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32122802734375 × 2 - 1) × π
    0.3575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12325743189716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39912263} λ = -0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12325743189716))-π/2
    2×atan(3.07485403517838)-π/2
    2×1.25636664317296-π/2
    2.51273328634591-1.57079632675     		φ = 0.94193696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94193696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.969012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28605 KachelY 21052 -0.39912263 0.94193696 -22.868042 53.969012
    Oben rechts KachelX + 1 28606 KachelY 21052 -0.39902675 0.94193696 -22.862549 53.969012
    Unten links KachelX 28605 KachelY + 1 21053 -0.39912263 0.94188056 -22.868042 53.965781
    Unten rechts KachelX + 1 28606 KachelY + 1 21053 -0.39902675 0.94188056 -22.862549 53.965781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94193696-0.94188056) × R
    5.64000000000675e-05 × 6371000     		dl = 359.32440000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94193696-0.94188056) × R
    5.64000000000675e-05 × 6371000     		dr = 359.32440000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39912263--0.39902675) × cos(0.94193696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588222711883889 × 6371000     		do = 359.31671412386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39912263--0.39902675) × cos(0.94188056) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588268321570814 × 6371000     		du = 359.34457486862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94193696)-sin(0.94188056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588222711883889-0.588268321570814)×R²
    abs(-0.39902675--0.39912263)×4.56096869252409e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56096869252409e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56096869252409e-05×40589641000000     		ar = 129116.268269901m²