Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28604 / 4116
↖ ↑ ↗
← N 79.129976°
E134.252929°		 ← 230.38 m → N 79.129976°
E134.263916°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
N 79.127904°
E134.252929°		 ← 230.42 m →
53 079 m²		 N 79.127904°
E134.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872940063476562 y=0.125625610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872940063476562 × 215)
    floor (0.872940063476562 × 32768)
    floor (28604.5)     		tx = 28604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125625610351562 × 215)
    floor (0.125625610351562 × 32768)
    floor (4116.5)     		ty = 4116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28604 / 4116 ti = "15/28604/4116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28604/4116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28604 ÷ 215
    28604 ÷ 32768     		x = 0.8729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4116 ÷ 215
    4116 ÷ 32768     		y = 0.1256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8729248046875 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1256103515625 × 2 - 1) × π
    0.748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3523595381554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34315565} λ = 2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3523595381554))-π/2
    2×atan(10.5103400383319)-π/2
    2×1.4759374739996-π/2
    2.95187494799921-1.57079632675     		φ = 1.38107862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38107862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.129976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28604 KachelY 4116 2.34315565 1.38107862 134.252929 79.129976
    Oben rechts KachelX + 1 28605 KachelY 4116 2.34334740 1.38107862 134.263916 79.129976
    Unten links KachelX 28604 KachelY + 1 4117 2.34315565 1.38104246 134.252929 79.127904
    Unten rechts KachelX + 1 28605 KachelY + 1 4117 2.34334740 1.38104246 134.263916 79.127904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38107862-1.38104246) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38107862-1.38104246) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34315565-2.34334740) × cos(1.38107862) × R
    0.000191749999999935 × 0.188581674332195 × 6371000     		do = 230.378775194849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34315565-2.34334740) × cos(1.38104246) × R
    0.000191749999999935 × 0.188617185408444 × 6371000     		du = 230.422156919404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38107862)-sin(1.38104246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188581674332195-0.188617185408444)×R²
    abs(2.34334740-2.34315565)×3.55110762488564e-05×R²
    0.000191749999999935×3.55110762488564e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.55110762488564e-05×40589641000000     		ar = 53078.5903178866m²