Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28603 / 4501
↖ ↑ ↗
← N 78.302728°
E134.241944°		 ← 247.66 m → N 78.302728°
E134.252929°		 →
↑
247.70 m
↓
↑
247.70 m
↓
N 78.300501°
E134.241944°		 ← 247.71 m →
61 353 m²		 N 78.300501°
E134.252929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872909545898438 y=0.137374877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872909545898438 × 215)
    floor (0.872909545898438 × 32768)
    floor (28603.5)     		tx = 28603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137374877929688 × 215)
    floor (0.137374877929688 × 32768)
    floor (4501.5)     		ty = 4501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28603 / 4501 ti = "15/28603/4501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28603/4501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28603 ÷ 215
    28603 ÷ 32768     		x = 0.872894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4501 ÷ 215
    4501 ÷ 32768     		y = 0.137359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872894287109375 × 2 - 1) × π
    0.74578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34296391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137359619140625 × 2 - 1) × π
    0.72528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27853671274051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34296391} λ = 2.34296391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27853671274051))-π/2
    2×atan(9.762384779503)-π/2
    2×1.4687183710161-π/2
    2.9374367420322-1.57079632675     		φ = 1.36664042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34296391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.241944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36664042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.302728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28603 KachelY 4501 2.34296391 1.36664042 134.241944 78.302728
    Oben rechts KachelX + 1 28604 KachelY 4501 2.34315565 1.36664042 134.252929 78.302728
    Unten links KachelX 28603 KachelY + 1 4502 2.34296391 1.36660154 134.241944 78.300501
    Unten rechts KachelX + 1 28604 KachelY + 1 4502 2.34315565 1.36660154 134.252929 78.300501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36664042-1.36660154) × R
    3.88799999999634e-05 × 6371000     		dl = 247.704479999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36664042-1.36660154) × R
    3.88799999999634e-05 × 6371000     		dr = 247.704479999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34296391-2.34315565) × cos(1.36664042) × R
    0.000191739999999996 × 0.202740668758381 × 6371000     		do = 247.663041918475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34296391-2.34315565) × cos(1.36660154) × R
    0.000191739999999996 × 0.202778741163388 × 6371000     		du = 247.709550237181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36664042)-sin(1.36660154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202740668758381-0.202778741163388)×R²
    abs(2.34315565-2.34296391)×3.80724050070003e-05×R²
    0.000191739999999996×3.80724050070003e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.80724050070003e-05×40589641000000     		ar = 61353.0051803577m²