Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28603 / 21179
↖ ↑ ↗
← N 53.556626°
W 22.879028°		 ← 362.83 m → N 53.556626°
W 22.873535°		 →
↑
362.83 m
↓
↑
362.83 m
↓
N 53.553363°
W 22.879028°		 ← 362.85 m →
131 648 m²		 N 53.553363°
W 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436454772949219 y=0.323173522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436454772949219 × 216)
    floor (0.436454772949219 × 65536)
    floor (28603.5)     		tx = 28603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323173522949219 × 216)
    floor (0.323173522949219 × 65536)
    floor (21179.5)     		ty = 21179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28603 / 21179 ti = "16/28603/21179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28603/21179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28603 ÷ 216
    28603 ÷ 65536     		x = 0.436447143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21179 ÷ 216
    21179 ÷ 65536     		y = 0.323165893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436447143554688 × 2 - 1) × π
    -0.127105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39931437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323165893554688 × 2 - 1) × π
    0.353668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11108145939366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39931437} λ = -0.39931437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11108145939366))-π/2
    2×atan(3.03764170488854)-π/2
    2×1.25276789340972-π/2
    2.50553578681944-1.57079632675     		φ = 0.93473946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39931437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.879028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93473946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.556626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28603 KachelY 21179 -0.39931437 0.93473946 -22.879028 53.556626
    Oben rechts KachelX + 1 28604 KachelY 21179 -0.39921850 0.93473946 -22.873535 53.556626
    Unten links KachelX 28603 KachelY + 1 21180 -0.39931437 0.93468251 -22.879028 53.553363
    Unten rechts KachelX + 1 28604 KachelY + 1 21180 -0.39921850 0.93468251 -22.873535 53.553363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93473946-0.93468251) × R
    5.69499999999445e-05 × 6371000     		dl = 362.828449999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93473946-0.93468251) × R
    5.69499999999445e-05 × 6371000     		dr = 362.828449999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39931437--0.39921850) × cos(0.93473946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594028036460982 × 6371000     		do = 362.825059707474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39931437--0.39921850) × cos(0.93468251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594073848602663 × 6371000     		du = 362.85304120333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93473946)-sin(0.93468251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594028036460982-0.594073848602663)×R²
    abs(-0.39921850--0.39931437)×4.58121416810897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58121416810897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58121416810897e-05×40589641000000     		ar = 131648.330311565m²