Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28601 / 19125
↖ ↑ ↗
← N 59.742559°
W 22.890015°		 ← 307.77 m → N 59.742559°
W 22.884522°		 →
↑
307.85 m
↓
↑
307.85 m
↓
N 59.739790°
W 22.890015°		 ← 307.79 m →
94 749 m²		 N 59.739790°
W 22.884522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436424255371094 y=0.291831970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436424255371094 × 216)
    floor (0.436424255371094 × 65536)
    floor (28601.5)     		tx = 28601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291831970214844 × 216)
    floor (0.291831970214844 × 65536)
    floor (19125.5)     		ty = 19125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28601 / 19125 ti = "16/28601/19125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28601/19125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28601 ÷ 216
    28601 ÷ 65536     		x = 0.436416625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19125 ÷ 216
    19125 ÷ 65536     		y = 0.291824340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436416625976562 × 2 - 1) × π
    -0.127166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39950612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291824340820312 × 2 - 1) × π
    0.416351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30800624303285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39950612} λ = -0.39950612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30800624303285))-π/2
    2×atan(3.69879186380115)-π/2
    2×1.30675033605288-π/2
    2.61350067210575-1.57079632675     		φ = 1.04270435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39950612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.890015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04270435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.742559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28601 KachelY 19125 -0.39950612 1.04270435 -22.890015 59.742559
    Oben rechts KachelX + 1 28602 KachelY 19125 -0.39941025 1.04270435 -22.884522 59.742559
    Unten links KachelX 28601 KachelY + 1 19126 -0.39950612 1.04265603 -22.890015 59.739790
    Unten rechts KachelX + 1 28602 KachelY + 1 19126 -0.39941025 1.04265603 -22.884522 59.739790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04270435-1.04265603) × R
    4.83199999998796e-05 × 6371000     		dl = 307.846719999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04270435-1.04265603) × R
    4.83199999998796e-05 × 6371000     		dr = 307.846719999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39950612--0.39941025) × cos(1.04270435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503886166081589 × 6371000     		do = 307.767507714817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39950612--0.39941025) × cos(1.04265603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503927902863052 × 6371000     		du = 307.793000030493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04270435)-sin(1.04265603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503886166081589-0.503927902863052)×R²
    abs(-0.39941025--0.39950612)×4.17367814623537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17367814623537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17367814623537e-05×40589641000000     		ar = 94749.1416535702m²