Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28599 / 40521
↖ ↑ ↗
← S 39.134321°
W 22.901001°		 ← 473.77 m → S 39.134321°
W 22.895508°		 →
↑
473.75 m
↓
↑
473.75 m
↓
S 39.138582°
W 22.901001°		 ← 473.74 m →
224 440 m²		 S 39.138582°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436393737792969 y=0.618309020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436393737792969 × 216)
    floor (0.436393737792969 × 65536)
    floor (28599.5)     		tx = 28599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618309020996094 × 216)
    floor (0.618309020996094 × 65536)
    floor (40521.5)     		ty = 40521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28599 / 40521 ti = "16/28599/40521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28599/40521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28599 ÷ 216
    28599 ÷ 65536     		x = 0.436386108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40521 ÷ 216
    40521 ÷ 65536     		y = 0.618301391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436386108398438 × 2 - 1) × π
    -0.127227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39969787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618301391601562 × 2 - 1) × π
    -0.236602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.743309565508591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39969787} λ = -0.39969787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743309565508591))-π/2
    2×atan(0.475537485850105)-π/2
    2×0.443886785274109-π/2
    0.887773570548217-1.57079632675     		φ = -0.68302276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39969787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.901001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68302276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.134321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28599 KachelY 40521 -0.39969787 -0.68302276 -22.901001 -39.134321
    Oben rechts KachelX + 1 28600 KachelY 40521 -0.39960200 -0.68302276 -22.895508 -39.134321
    Unten links KachelX 28599 KachelY + 1 40522 -0.39969787 -0.68309712 -22.901001 -39.138582
    Unten rechts KachelX + 1 28600 KachelY + 1 40522 -0.39960200 -0.68309712 -22.895508 -39.138582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68302276--0.68309712) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dl = 473.747560000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68302276--0.68309712) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dr = 473.747560000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39969787--0.39960200) × cos(-0.68302276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775668478875511 × 6371000     		do = 473.768820471655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39969787--0.39960200) × cos(-0.68309712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775621545118759 × 6371000     		du = 473.740153907031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68302276)-sin(-0.68309712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775668478875511-0.775621545118759)×R²
    abs(-0.39960200--0.39969787)×4.69337567520212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69337567520212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69337567520212e-05×40589641000000     		ar = 224440.032448278m²