Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28599 / 21068
↖ ↑ ↗
← N 53.917281°
W 22.901001°		 ← 359.73 m → N 53.917281°
W 22.895508°		 →
↑
359.77 m
↓
↑
359.77 m
↓
N 53.914046°
W 22.901001°		 ← 359.75 m →
129 423 m²		 N 53.914046°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436393737792969 y=0.321479797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436393737792969 × 216)
    floor (0.436393737792969 × 65536)
    floor (28599.5)     		tx = 28599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321479797363281 × 216)
    floor (0.321479797363281 × 65536)
    floor (21068.5)     		ty = 21068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28599 / 21068 ti = "16/28599/21068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28599/21068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28599 ÷ 216
    28599 ÷ 65536     		x = 0.436386108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21068 ÷ 216
    21068 ÷ 65536     		y = 0.32147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436386108398438 × 2 - 1) × π
    -0.127227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39969787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32147216796875 × 2 - 1) × π
    0.3570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12172345110931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39969787} λ = -0.39969787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12172345110931))-π/2
    2×atan(3.07014088402886)-π/2
    2×1.25591520210955-π/2
    2.51183040421911-1.57079632675     		φ = 0.94103408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39969787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.901001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94103408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.917281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28599 KachelY 21068 -0.39969787 0.94103408 -22.901001 53.917281
    Oben rechts KachelX + 1 28600 KachelY 21068 -0.39960200 0.94103408 -22.895508 53.917281
    Unten links KachelX 28599 KachelY + 1 21069 -0.39969787 0.94097761 -22.901001 53.914046
    Unten rechts KachelX + 1 28600 KachelY + 1 21069 -0.39960200 0.94097761 -22.895508 53.914046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94103408-0.94097761) × R
    5.64699999999752e-05 × 6371000     		dl = 359.770369999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94103408-0.94097761) × R
    5.64699999999752e-05 × 6371000     		dr = 359.770369999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39969787--0.39960200) × cos(0.94103408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588952630162995 × 6371000     		do = 359.725063612883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39969787--0.39960200) × cos(0.94097761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588998266445844 × 6371000     		du = 359.752937696315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94103408)-sin(0.94097761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588952630162995-0.588998266445844)×R²
    abs(-0.39960200--0.39969787)×4.56362828488155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56362828488155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56362828488155e-05×40589641000000     		ar = 129423.433403701m²