Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28598 / 4510
↖ ↑ ↗
← N 78.282664°
E134.187012°		 ← 248.09 m → N 78.282664°
E134.197998°		 →
↑
248.09 m
↓
↑
248.09 m
↓
N 78.280433°
E134.187012°		 ← 248.14 m →
61 555 m²		 N 78.280433°
E134.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872756958007812 y=0.137649536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872756958007812 × 215)
    floor (0.872756958007812 × 32768)
    floor (28598.5)     		tx = 28598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137649536132812 × 215)
    floor (0.137649536132812 × 32768)
    floor (4510.5)     		ty = 4510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28598 / 4510 ti = "15/28598/4510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28598/4510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28598 ÷ 215
    28598 ÷ 32768     		x = 0.87274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4510 ÷ 215
    4510 ÷ 32768     		y = 0.13763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87274169921875 × 2 - 1) × π
    0.7454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34200517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13763427734375 × 2 - 1) × π
    0.7247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27681098435419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34200517} λ = 2.34200517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27681098435419))-π/2
    2×atan(9.74555208347899)-π/2
    2×1.46854328545614-π/2
    2.93708657091228-1.57079632675     		φ = 1.36629024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34200517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36629024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.282664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28598 KachelY 4510 2.34200517 1.36629024 134.187012 78.282664
    Oben rechts KachelX + 1 28599 KachelY 4510 2.34219692 1.36629024 134.197998 78.282664
    Unten links KachelX 28598 KachelY + 1 4511 2.34200517 1.36625130 134.187012 78.280433
    Unten rechts KachelX + 1 28599 KachelY + 1 4511 2.34219692 1.36625130 134.197998 78.280433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36629024-1.36625130) × R
    3.89400000000428e-05 × 6371000     		dl = 248.086740000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36629024-1.36625130) × R
    3.89400000000428e-05 × 6371000     		dr = 248.086740000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34200517-2.34219692) × cos(1.36629024) × R
    0.000191749999999935 × 0.203083563945454 × 6371000     		do = 248.094852745567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34200517-2.34219692) × cos(1.36625130) × R
    0.000191749999999935 × 0.203121692336764 × 6371000     		du = 248.141431884931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36629024)-sin(1.36625130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203083563945454-0.203121692336764)×R²
    abs(2.34219692-2.34200517)×3.81283913101216e-05×R²
    0.000191749999999935×3.81283913101216e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.81283913101216e-05×40589641000000     		ar = 61554.8210697414m²