Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28597 / 22686
↖ ↑ ↗
← N 48.348948°
W 22.911987°		 ← 405.97 m → N 48.348948°
W 22.906494°		 →
↑
405.90 m
↓
↑
405.90 m
↓
N 48.345298°
W 22.911987°		 ← 406 m →
164 787 m²		 N 48.345298°
W 22.906494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436363220214844 y=0.346168518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436363220214844 × 216)
    floor (0.436363220214844 × 65536)
    floor (28597.5)     		tx = 28597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346168518066406 × 216)
    floor (0.346168518066406 × 65536)
    floor (22686.5)     		ty = 22686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28597 / 22686 ti = "16/28597/22686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28597/22686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28597 ÷ 216
    28597 ÷ 65536     		x = 0.436355590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22686 ÷ 216
    22686 ÷ 65536     		y = 0.346160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436355590820312 × 2 - 1) × π
    -0.127288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39988962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346160888671875 × 2 - 1) × π
    0.30767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966599643938812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39988962} λ = -0.39988962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966599643938812))-π/2
    2×atan(2.62898974216433)-π/2
    2×1.20732233070826-π/2
    2.41464466141651-1.57079632675     		φ = 0.84384833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39988962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.911987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84384833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.348948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28597 KachelY 22686 -0.39988962 0.84384833 -22.911987 48.348948
    Oben rechts KachelX + 1 28598 KachelY 22686 -0.39979374 0.84384833 -22.906494 48.348948
    Unten links KachelX 28597 KachelY + 1 22687 -0.39988962 0.84378462 -22.911987 48.345298
    Unten rechts KachelX + 1 28598 KachelY + 1 22687 -0.39979374 0.84378462 -22.906494 48.345298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84384833-0.84378462) × R
    6.37100000000501e-05 × 6371000     		dl = 405.896410000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84384833-0.84378462) × R
    6.37100000000501e-05 × 6371000     		dr = 405.896410000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39988962--0.39979374) × cos(0.84384833) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664592258019345 × 6371000     		do = 405.967164407627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39988962--0.39979374) × cos(0.84378462) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		du = 405.996242867919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84384833)-sin(0.84378462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664592258019345-0.664639861178613)×R²
    abs(-0.39979374--0.39988962)×4.7603159268772e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7603159268772e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7603159268772e-05×40589641000000     		ar = 164786.516088374m²