Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28597 / 20725
↖ ↑ ↗
← N 76.686744°
W101.455994°		 ← 70.33 m → N 76.686744°
W101.453247°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.686111°
W101.455994°		 ← 70.34 m →
4 947 m²		 N 76.686111°
W101.453247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218181610107422 y=0.158123016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218181610107422 × 217)
    floor (0.218181610107422 × 131072)
    floor (28597.5)     		tx = 28597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158123016357422 × 217)
    floor (0.158123016357422 × 131072)
    floor (20725.5)     		ty = 20725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28597 / 20725 ti = "17/28597/20725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28597/20725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28597 ÷ 217
    28597 ÷ 131072     		x = 0.218177795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20725 ÷ 217
    20725 ÷ 131072     		y = 0.158119201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218177795410156 × 2 - 1) × π
    -0.563644409179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.77074114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158119201660156 × 2 - 1) × π
    0.683761596679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.14810040887434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77074114} λ = -1.77074114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14810040887434))-π/2
    2×atan(8.56856615554948)-π/2
    2×1.45461624976326-π/2
    2.90923249952653-1.57079632675     		φ = 1.33843617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77074114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.455994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33843617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.686744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28597 KachelY 20725 -1.77074114 1.33843617 -101.455994 76.686744
    Oben rechts KachelX + 1 28598 KachelY 20725 -1.77069320 1.33843617 -101.453247 76.686744
    Unten links KachelX 28597 KachelY + 1 20726 -1.77074114 1.33842513 -101.455994 76.686111
    Unten rechts KachelX + 1 28598 KachelY + 1 20726 -1.77069320 1.33842513 -101.453247 76.686111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33843617-1.33842513) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33843617-1.33842513) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77074114--1.77069320) × cos(1.33843617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230274891804003 × 6371000     		do = 70.3318792326113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77074114--1.77069320) × cos(1.33842513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230285635096825 × 6371000     		du = 70.3351605107716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33843617)-sin(1.33842513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230274891804003-0.230285635096825)×R²
    abs(-1.77069320--1.77074114)×1.07432928222184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07432928222184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07432928222184e-05×40589641000000     		ar = 4946.96720025722m²