Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28596 / 22636
↖ ↑ ↗
← N 48.531157°
W 22.917480°		 ← 404.47 m → N 48.531157°
W 22.911987°		 →
↑
404.49 m
↓
↑
404.49 m
↓
N 48.527519°
W 22.917480°		 ← 404.50 m →
163 612 m²		 N 48.527519°
W 22.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436347961425781 y=0.345405578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436347961425781 × 216)
    floor (0.436347961425781 × 65536)
    floor (28596.5)     		tx = 28596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345405578613281 × 216)
    floor (0.345405578613281 × 65536)
    floor (22636.5)     		ty = 22636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28596 / 22636 ti = "16/28596/22636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28596/22636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28596 ÷ 216
    28596 ÷ 65536     		x = 0.43634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22636 ÷ 216
    22636 ÷ 65536     		y = 0.34539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34539794921875 × 2 - 1) × π
    0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39998549} λ = -0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971393333900818))-π/2
    2×atan(2.64162255861299)-π/2
    2×1.20891240321019-π/2
    2.41782480642038-1.57079632675     		φ = 0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28596 KachelY 22636 -0.39998549 0.84702848 -22.917480 48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 28597 KachelY 22636 -0.39988962 0.84702848 -22.911987 48.531157
    Unten links KachelX 28596 KachelY + 1 22637 -0.39998549 0.84696499 -22.917480 48.527519
    Unten rechts KachelX + 1 28597 KachelY + 1 22637 -0.39988962 0.84696499 -22.911987 48.527519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84702848-0.84696499) × R
    6.34899999999439e-05 × 6371000     		dl = 404.494789999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84702848-0.84696499) × R
    6.34899999999439e-05 × 6371000     		dr = 404.494789999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39998549--0.39988962) × cos(0.84702848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 404.471402142335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39998549--0.39988962) × cos(0.84696499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662260246282556 × 6371000     		du = 404.500458986564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84702848)-sin(0.84696499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662260246282556)×R²
    abs(-0.39988962--0.39998549)×4.75727341907595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75727341907595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75727341907595e-05×40589641000000     		ar = 163612.451596474m²