Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28595 / 8827
↖ ↑ ↗
← N 78.496030°
W 22.922973°		 ← 121.81 m → N 78.496030°
W 22.917480°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
N 78.494935°
W 22.922973°		 ← 121.82 m →
14 839 m²		 N 78.494935°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436332702636719 y=0.134696960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436332702636719 × 216)
    floor (0.436332702636719 × 65536)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134696960449219 × 216)
    floor (0.134696960449219 × 65536)
    floor (8827.5)     		ty = 8827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28595 / 8827 ti = "16/28595/8827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28595/8827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 216
    28595 ÷ 65536     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8827 ÷ 216
    8827 ÷ 65536     		y = 0.134689331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134689331054688 × 2 - 1) × π
    0.730621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29531462760753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29531462760753))-π/2
    2×atan(9.92755900510809)-π/2
    2×1.47040525539547-π/2
    2.94081051079095-1.57079632675     		φ = 1.37001418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37001418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.496030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 8827 -0.40008136 1.37001418 -22.922973 78.496030
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 8827 -0.39998549 1.37001418 -22.917480 78.496030
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 8828 -0.40008136 1.36999506 -22.922973 78.494935
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 8828 -0.39998549 1.36999506 -22.917480 78.494935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37001418-1.36999506) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37001418-1.36999506) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(1.37001418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199435825881211 × 6371000     		do = 121.81296334809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(1.36999506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199454561740963 × 6371000     		du = 121.824406982087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37001418)-sin(1.36999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199435825881211-0.199454561740963)×R²
    abs(-0.39998549--0.40008136)×1.87358597518728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87358597518728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87358597518728e-05×40589641000000     		ar = 14839.1628425055m²