Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28595 / 4507
↖ ↑ ↗
← N 78.289356°
E134.154053°		 ← 247.94 m → N 78.289356°
E134.165039°		 →
↑
247.96 m
↓
↑
247.96 m
↓
N 78.287126°
E134.154053°		 ← 247.99 m →
61 485 m²		 N 78.287126°
E134.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872665405273438 y=0.137557983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872665405273438 × 215)
    floor (0.872665405273438 × 32768)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137557983398438 × 215)
    floor (0.137557983398438 × 32768)
    floor (4507.5)     		ty = 4507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28595 / 4507 ti = "15/28595/4507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28595/4507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 215
    28595 ÷ 32768     		x = 0.872650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4507 ÷ 215
    4507 ÷ 32768     		y = 0.137542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872650146484375 × 2 - 1) × π
    0.74530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34142993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137542724609375 × 2 - 1) × π
    0.72491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27738622714963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34142993} λ = 2.34142993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27738622714963))-π/2
    2×atan(9.75115975483425)-π/2
    2×1.46860168018624-π/2
    2.93720336037249-1.57079632675     		φ = 1.36640703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34142993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36640703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.289356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 4507 2.34142993 1.36640703 134.154053 78.289356
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 4507 2.34162167 1.36640703 134.165039 78.289356
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 4508 2.34142993 1.36636811 134.154053 78.287126
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 4508 2.34162167 1.36636811 134.165039 78.287126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36640703-1.36636811) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dl = 247.959319999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36640703-1.36636811) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dr = 247.959319999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34142993-2.34162167) × cos(1.36640703) × R
    0.000191739999999996 × 0.202969206299666 × 6371000     		do = 247.942217788881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34142993-2.34162167) × cos(1.36636811) × R
    0.000191739999999996 × 0.203007316030842 × 6371000     		du = 247.988771704322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36640703)-sin(1.36636811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202969206299666-0.203007316030842)×R²
    abs(2.34162167-2.34142993)×3.81097311762668e-05×R²
    0.000191739999999996×3.81097311762668e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.81097311762668e-05×40589641000000     		ar = 61485.355468011m²