Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28595 / 42510
↖ ↑ ↗
← S 47.092565°
W 22.922973°		 ← 415.83 m → S 47.092565°
W 22.917480°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
S 47.096305°
W 22.922973°		 ← 415.80 m →
172 912 m²		 S 47.096305°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436332702636719 y=0.648658752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436332702636719 × 216)
    floor (0.436332702636719 × 65536)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648658752441406 × 216)
    floor (0.648658752441406 × 65536)
    floor (42510.5)     		ty = 42510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28595 / 42510 ti = "16/28595/42510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28595/42510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 216
    28595 ÷ 65536     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42510 ÷ 216
    42510 ÷ 65536     		y = 0.648651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.29730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.934002552197174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934002552197174))-π/2
    2×atan(0.392977644797716)-π/2
    2×0.374438002357649-π/2
    0.748876004715297-1.57079632675     		φ = -0.82192032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82192032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.092565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 42510 -0.40008136 -0.82192032 -22.922973 -47.092565
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 42510 -0.39998549 -0.82192032 -22.917480 -47.092565
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 42511 -0.40008136 -0.82198559 -22.922973 -47.096305
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 42511 -0.39998549 -0.82198559 -22.917480 -47.096305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82192032--0.82198559) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dl = 415.835170000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82192032--0.82198559) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dr = 415.835170000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(-0.82192032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680815916301864 × 6371000     		do = 415.834035298513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(-0.82198559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680768107542318 × 6371000     		du = 415.804834292884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82192032)-sin(-0.82198559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680815916301864-0.680768107542318)×R²
    abs(-0.39998549--0.40008136)×4.78087595455756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78087595455756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78087595455756e-05×40589641000000     		ar = 172912.345418989m²