Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28595 / 22646
↖ ↑ ↗
← N 48.494767°
W 22.922973°		 ← 404.76 m → N 48.494767°
W 22.917480°		 →
↑
404.75 m
↓
↑
404.75 m
↓
N 48.491127°
W 22.922973°		 ← 404.79 m →
163 833 m²		 N 48.491127°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436332702636719 y=0.345558166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436332702636719 × 216)
    floor (0.436332702636719 × 65536)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345558166503906 × 216)
    floor (0.345558166503906 × 65536)
    floor (22646.5)     		ty = 22646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28595 / 22646 ti = "16/28595/22646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28595/22646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 216
    28595 ÷ 65536     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22646 ÷ 216
    22646 ÷ 65536     		y = 0.345550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    0.30889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.970434595908417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970434595908417))-π/2
    2×atan(2.63909114837795)-π/2
    2×1.20859484495391-π/2
    2.41718968990782-1.57079632675     		φ = 0.84639336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84639336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.494767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 22646 -0.40008136 0.84639336 -22.922973 48.494767
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 22646 -0.39998549 0.84639336 -22.917480 48.494767
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 22647 -0.40008136 0.84632983 -22.922973 48.491127
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 22647 -0.39998549 0.84632983 -22.917480 48.491127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84639336-0.84632983) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dl = 404.749630000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84639336-0.84632983) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dr = 404.749630000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(0.84639336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662688445494121 × 6371000     		do = 404.761997828112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(0.84632983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662736021468973 × 6371000     		du = 404.791056651697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84639336)-sin(0.84632983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662688445494121-0.662736021468973)×R²
    abs(-0.39998549--0.40008136)×4.75759748522764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75759748522764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75759748522764e-05×40589641000000     		ar = 163833.14968844m²