Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28595 / 22637
↖ ↑ ↗
← N 48.527519°
W 22.922973°		 ← 404.50 m → N 48.527519°
W 22.917480°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
N 48.523881°
W 22.922973°		 ← 404.53 m →
163 650 m²		 N 48.523881°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436332702636719 y=0.345420837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436332702636719 × 216)
    floor (0.436332702636719 × 65536)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345420837402344 × 216)
    floor (0.345420837402344 × 65536)
    floor (22637.5)     		ty = 22637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28595 / 22637 ti = "16/28595/22637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28595/22637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 216
    28595 ÷ 65536     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22637 ÷ 216
    22637 ÷ 65536     		y = 0.345413208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345413208007812 × 2 - 1) × π
    0.309173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.971297460101578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971297460101578))-π/2
    2×atan(2.64136930836236)-π/2
    2×1.20888065764746-π/2
    2.41776131529492-1.57079632675     		φ = 0.84696499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84696499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.527519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 22637 -0.40008136 0.84696499 -22.922973 48.527519
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 22637 -0.39998549 0.84696499 -22.917480 48.527519
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 22638 -0.40008136 0.84690149 -22.922973 48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 22638 -0.39998549 0.84690149 -22.917480 48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84696499-0.84690149) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84696499-0.84690149) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(0.84696499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662260246282556 × 6371000     		do = 404.500458986564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.39998549) × cos(0.84690149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 404.529518776477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84696499)-sin(0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662260246282556-0.662307823839507)×R²
    abs(-0.39998549--0.40008136)×4.75775569512837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75775569512837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75775569512837e-05×40589641000000     		ar = 163649.977184588m²