Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28595 / 20724
↖ ↑ ↗
← N 76.687376°
W101.461487°		 ← 70.33 m → N 76.687376°
W101.458740°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.686744°
W101.461487°		 ← 70.33 m →
4 947 m²		 N 76.686744°
W101.458740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218166351318359 y=0.158115386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218166351318359 × 217)
    floor (0.218166351318359 × 131072)
    floor (28595.5)     		tx = 28595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158115386962891 × 217)
    floor (0.158115386962891 × 131072)
    floor (20724.5)     		ty = 20724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28595 / 20724 ti = "17/28595/20724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28595/20724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28595 ÷ 217
    28595 ÷ 131072     		x = 0.218162536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20724 ÷ 217
    20724 ÷ 131072     		y = 0.158111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218162536621094 × 2 - 1) × π
    -0.563674926757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.77083701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158111572265625 × 2 - 1) × π
    0.68377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14814834577396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77083701} λ = -1.77083701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14814834577396))-π/2
    2×atan(8.56897691589038)-π/2
    2×1.45462176896665-π/2
    2.90924353793331-1.57079632675     		φ = 1.33844721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77083701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.461487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33844721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.687376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28595 KachelY 20724 -1.77083701 1.33844721 -101.461487 76.687376
    Oben rechts KachelX + 1 28596 KachelY 20724 -1.77078907 1.33844721 -101.458740 76.687376
    Unten links KachelX 28595 KachelY + 1 20725 -1.77083701 1.33843617 -101.461487 76.686744
    Unten rechts KachelX + 1 28596 KachelY + 1 20725 -1.77078907 1.33843617 -101.458740 76.686744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33844721-1.33843617) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33844721-1.33843617) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77083701--1.77078907) × cos(1.33844721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230264148483114 × 6371000     		do = 70.3285979458789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77083701--1.77078907) × cos(1.33843617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230274891804003 × 6371000     		du = 70.3318792326113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33844721)-sin(1.33843617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230264148483114-0.230274891804003)×R²
    abs(-1.77078907--1.77083701)×1.07433208884899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07433208884899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07433208884899e-05×40589641000000     		ar = 4946.73640868257m²