Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28594 / 8892
↖ ↑ ↗
← N 78.424603°
W 22.928467°		 ← 122.57 m → N 78.424603°
W 22.922973°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 78.423501°
W 22.928467°		 ← 122.58 m →
15 025 m²		 N 78.423501°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436317443847656 y=0.135688781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436317443847656 × 216)
    floor (0.436317443847656 × 65536)
    floor (28594.5)     		tx = 28594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135688781738281 × 216)
    floor (0.135688781738281 × 65536)
    floor (8892.5)     		ty = 8892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28594 / 8892 ti = "16/28594/8892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28594/8892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28594 ÷ 216
    28594 ÷ 65536     		x = 0.436309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8892 ÷ 216
    8892 ÷ 65536     		y = 0.13568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40017724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13568115234375 × 2 - 1) × π
    0.7286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28908283065692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40017724} λ = -0.40017724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28908283065692))-π/2
    2×atan(9.86588484319454)-π/2
    2×1.46978193252612-π/2
    2.93956386505224-1.57079632675     		φ = 1.36876754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40017724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36876754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.424603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28594 KachelY 8892 -0.40017724 1.36876754 -22.928467 78.424603
    Oben rechts KachelX + 1 28595 KachelY 8892 -0.40008136 1.36876754 -22.922973 78.424603
    Unten links KachelX 28594 KachelY + 1 8893 -0.40017724 1.36874830 -22.928467 78.423501
    Unten rechts KachelX + 1 28595 KachelY + 1 8893 -0.40008136 1.36874830 -22.922973 78.423501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36876754-1.36874830) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36876754-1.36874830) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(1.36876754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200657266703363 × 6371000     		do = 122.571788338495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(1.36874830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200676115353549 × 6371000     		du = 122.583302064357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36876754)-sin(1.36874830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200657266703363-0.200676115353549)×R²
    abs(-0.40008136--0.40017724)×1.8848650185449e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8848650185449e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8848650185449e-05×40589641000000     		ar = 15025.3152389983m²