Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28594 / 8882
↖ ↑ ↗
← N 78.435621°
W 22.928467°		 ← 122.46 m → N 78.435621°
W 22.922973°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
N 78.434519°
W 22.928467°		 ← 122.47 m →
14 996 m²		 N 78.434519°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436317443847656 y=0.135536193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436317443847656 × 216)
    floor (0.436317443847656 × 65536)
    floor (28594.5)     		tx = 28594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135536193847656 × 216)
    floor (0.135536193847656 × 65536)
    floor (8882.5)     		ty = 8882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28594 / 8882 ti = "16/28594/8882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28594/8882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28594 ÷ 216
    28594 ÷ 65536     		x = 0.436309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8882 ÷ 216
    8882 ÷ 65536     		y = 0.135528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40017724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135528564453125 × 2 - 1) × π
    0.72894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29004156864932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40017724} λ = -0.40017724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29004156864932))-π/2
    2×atan(9.87534817752657)-π/2
    2×1.46987807624085-π/2
    2.9397561524817-1.57079632675     		φ = 1.36895983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40017724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36895983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.435621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28594 KachelY 8882 -0.40017724 1.36895983 -22.928467 78.435621
    Oben rechts KachelX + 1 28595 KachelY 8882 -0.40008136 1.36895983 -22.922973 78.435621
    Unten links KachelX 28594 KachelY + 1 8883 -0.40017724 1.36894061 -22.928467 78.434519
    Unten rechts KachelX + 1 28595 KachelY + 1 8883 -0.40008136 1.36894061 -22.922973 78.434519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36895983-1.36894061) × R
    1.92200000002085e-05 × 6371000     		dl = 122.450620001328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36895983-1.36894061) × R
    1.92200000002085e-05 × 6371000     		dr = 122.450620001328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(1.36895983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200468883884332 × 6371000     		do = 122.456714414683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(1.36894061) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200487713682644 × 6371000     		du = 122.46821662485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36895983)-sin(1.36894061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200468883884332-0.200487713682644)×R²
    abs(-0.40008136--0.40017724)×1.88297983114705e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88297983114705e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88297983114705e-05×40589641000000     		ar = 14995.6048301253m²