Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28594 / 43444
↖ ↑ ↗
← S 50.471491°
W 22.928467°		 ← 388.78 m → S 50.471491°
W 22.922973°		 →
↑
388.76 m
↓
↑
388.76 m
↓
S 50.474987°
W 22.928467°		 ← 388.76 m →
151 137 m²		 S 50.474987°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436317443847656 y=0.662910461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436317443847656 × 216)
    floor (0.436317443847656 × 65536)
    floor (28594.5)     		tx = 28594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662910461425781 × 216)
    floor (0.662910461425781 × 65536)
    floor (43444.5)     		ty = 43444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28594 / 43444 ti = "16/28594/43444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28594/43444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28594 ÷ 216
    28594 ÷ 65536     		x = 0.436309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43444 ÷ 216
    43444 ÷ 65536     		y = 0.66290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40017724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.3258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02354868068744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40017724} λ = -0.40017724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02354868068744))-π/2
    2×atan(0.35931757169982)-π/2
    2×0.344951316533199-π/2
    0.689902633066398-1.57079632675     		φ = -0.88089369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40017724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88089369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.471491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28594 KachelY 43444 -0.40017724 -0.88089369 -22.928467 -50.471491
    Oben rechts KachelX + 1 28595 KachelY 43444 -0.40008136 -0.88089369 -22.922973 -50.471491
    Unten links KachelX 28594 KachelY + 1 43445 -0.40017724 -0.88095471 -22.928467 -50.474987
    Unten rechts KachelX + 1 28595 KachelY + 1 43445 -0.40008136 -0.88095471 -22.922973 -50.474987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88089369--0.88095471) × R
    6.10200000000782e-05 × 6371000     		dl = 388.758420000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88089369--0.88095471) × R
    6.10200000000782e-05 × 6371000     		dr = 388.758420000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(-0.88089369) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636462088221086 × 6371000     		do = 388.783808553711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(-0.88095471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636415021822856 × 6371000     		du = 388.755057974694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88089369)-sin(-0.88095471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636462088221086-0.636415021822856)×R²
    abs(-0.40008136--0.40017724)×4.70663982301556e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70663982301556e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70663982301556e-05×40589641000000     		ar = 151137.390667186m²