Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28594 / 22678
↖ ↑ ↗
← N 48.378145°
W 22.928467°		 ← 405.73 m → N 48.378145°
W 22.922973°		 →
↑
405.71 m
↓
↑
405.71 m
↓
N 48.374497°
W 22.928467°		 ← 405.76 m →
164 615 m²		 N 48.374497°
W 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436317443847656 y=0.346046447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436317443847656 × 216)
    floor (0.436317443847656 × 65536)
    floor (28594.5)     		tx = 28594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346046447753906 × 216)
    floor (0.346046447753906 × 65536)
    floor (22678.5)     		ty = 22678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28594 / 22678 ti = "16/28594/22678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28594/22678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28594 ÷ 216
    28594 ÷ 65536     		x = 0.436309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22678 ÷ 216
    22678 ÷ 65536     		y = 0.346038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.12738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40017724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40017724} λ = -0.40017724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967366634332733))-π/2
    2×atan(2.63100692552353)-π/2
    2×1.20757712561633-π/2
    2.41515425123267-1.57079632675     		φ = 0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40017724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28594 KachelY 22678 -0.40017724 0.84435792 -22.928467 48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 28595 KachelY 22678 -0.40008136 0.84435792 -22.922973 48.378145
    Unten links KachelX 28594 KachelY + 1 22679 -0.40017724 0.84429424 -22.928467 48.374497
    Unten rechts KachelX + 1 28595 KachelY + 1 22679 -0.40008136 0.84429424 -22.922973 48.374497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84435792-0.84429424) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dl = 405.705280000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84435792-0.84429424) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dr = 405.705280000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(0.84435792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 405.734518511683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40017724--0.40008136) × cos(0.84429424) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664259005233865 × 6371000     		du = 405.763596450403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84435792)-sin(0.84429424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664259005233865)×R²
    abs(-0.40008136--0.40017724)×4.76023054235553e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76023054235553e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76023054235553e-05×40589641000000     		ar = 164614.535030913m²