Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28593 / 4511
↖ ↑ ↗
← N 78.280433°
E134.132080°		 ← 248.14 m → N 78.280433°
E134.143067°		 →
↑
248.15 m
↓
↑
248.15 m
↓
N 78.278202°
E134.132080°		 ← 248.19 m →
61 582 m²		 N 78.278202°
E134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872604370117188 y=0.137680053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872604370117188 × 215)
    floor (0.872604370117188 × 32768)
    floor (28593.5)     		tx = 28593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137680053710938 × 215)
    floor (0.137680053710938 × 32768)
    floor (4511.5)     		ty = 4511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28593 / 4511 ti = "15/28593/4511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28593/4511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28593 ÷ 215
    28593 ÷ 32768     		x = 0.872589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4511 ÷ 215
    4511 ÷ 32768     		y = 0.137664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872589111328125 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137664794921875 × 2 - 1) × π
    0.72467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27661923675571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34104643} λ = 2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27661923675571))-π/2
    2×atan(9.74368357641772)-π/2
    2×1.46852381323578-π/2
    2.93704762647156-1.57079632675     		φ = 1.36625130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36625130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.280433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28593 KachelY 4511 2.34104643 1.36625130 134.132080 78.280433
    Oben rechts KachelX + 1 28594 KachelY 4511 2.34123818 1.36625130 134.143067 78.280433
    Unten links KachelX 28593 KachelY + 1 4512 2.34104643 1.36621235 134.132080 78.278202
    Unten rechts KachelX + 1 28594 KachelY + 1 4512 2.34123818 1.36621235 134.143067 78.278202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36625130-1.36621235) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dl = 248.150449999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36625130-1.36621235) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dr = 248.150449999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34104643-2.34123818) × cos(1.36625130) × R
    0.000191749999999935 × 0.203121692336764 × 6371000     		do = 248.141431884931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34104643-2.34123818) × cos(1.36621235) × R
    0.000191749999999935 × 0.203159830211532 × 6371000     		du = 248.188022609659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36625130)-sin(1.36621235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203121692336764-0.203159830211532)×R²
    abs(2.34123818-2.34104643)×3.81378747677519e-05×R²
    0.000191749999999935×3.81378747677519e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.81378747677519e-05×40589641000000     		ar = 61582.1887483142m²