Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28593 / 42506
↖ ↑ ↗
← S 47.077604°
W 22.933960°		 ← 415.95 m → S 47.077604°
W 22.928467°		 →
↑
415.90 m
↓
↑
415.90 m
↓
S 47.081345°
W 22.933960°		 ← 415.92 m →
172 987 m²		 S 47.081345°
W 22.928467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436302185058594 y=0.648597717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436302185058594 × 216)
    floor (0.436302185058594 × 65536)
    floor (28593.5)     		tx = 28593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648597717285156 × 216)
    floor (0.648597717285156 × 65536)
    floor (42506.5)     		ty = 42506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28593 / 42506 ti = "16/28593/42506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28593/42506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28593 ÷ 216
    28593 ÷ 65536     		x = 0.436294555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42506 ÷ 216
    42506 ÷ 65536     		y = 0.648590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436294555664062 × 2 - 1) × π
    -0.127410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40027311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.29718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933619057000214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40027311} λ = -0.40027311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933619057000214))-π/2
    2×atan(0.393128378738032)-π/2
    2×0.374568565509098-π/2
    0.749137131018195-1.57079632675     		φ = -0.82165920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40027311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.933960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82165920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.077604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28593 KachelY 42506 -0.40027311 -0.82165920 -22.933960 -47.077604
    Oben rechts KachelX + 1 28594 KachelY 42506 -0.40017724 -0.82165920 -22.928467 -47.077604
    Unten links KachelX 28593 KachelY + 1 42507 -0.40027311 -0.82172448 -22.933960 -47.081345
    Unten rechts KachelX + 1 28594 KachelY + 1 42507 -0.40017724 -0.82172448 -22.928467 -47.081345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82165920--0.82172448) × R
    6.52799999999454e-05 × 6371000     		dl = 415.898879999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82165920--0.82172448) × R
    6.52799999999454e-05 × 6371000     		dr = 415.898879999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40027311--0.40017724) × cos(-0.82165920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681007151625145 × 6371000     		do = 415.950839495165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40027311--0.40017724) × cos(-0.82172448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680959347146962 × 6371000     		du = 415.92164110454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82165920)-sin(-0.82172448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681007151625145-0.680959347146962)×R²
    abs(-0.40017724--0.40027311)×4.7804478183755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7804478183755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7804478183755e-05×40589641000000     		ar = 172987.41655301m²