Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28592 / 40592
↖ ↑ ↗
← S 39.436193°
W 22.939453°		 ← 471.78 m → S 39.436193°
W 22.933960°		 →
↑
471.77 m
↓
↑
471.77 m
↓
S 39.440436°
W 22.939453°		 ← 471.75 m →
222 566 m²		 S 39.440436°
W 22.933960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436286926269531 y=0.619392395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436286926269531 × 216)
    floor (0.436286926269531 × 65536)
    floor (28592.5)     		tx = 28592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619392395019531 × 216)
    floor (0.619392395019531 × 65536)
    floor (40592.5)     		ty = 40592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28592 / 40592 ti = "16/28592/40592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28592/40592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28592 ÷ 216
    28592 ÷ 65536     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40592 ÷ 216
    40592 ÷ 65536     		y = 0.619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750116605254639))-π/2
    2×atan(0.472311475530058)-π/2
    2×0.441252457260743-π/2
    0.882504914521487-1.57079632675     		φ = -0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28592 KachelY 40592 -0.40036899 -0.68829141 -22.939453 -39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 28593 KachelY 40592 -0.40027311 -0.68829141 -22.933960 -39.436193
    Unten links KachelX 28592 KachelY + 1 40593 -0.40036899 -0.68836546 -22.939453 -39.440436
    Unten rechts KachelX + 1 28593 KachelY + 1 40593 -0.40027311 -0.68836546 -22.933960 -39.440436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68829141--0.68836546) × R
    7.40499999999367e-05 × 6371000     		dl = 471.772549999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68829141--0.68836546) × R
    7.40499999999367e-05 × 6371000     		dr = 471.772549999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.40027311) × cos(-0.68829141) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 471.780432223816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.40027311) × cos(-0.68836546) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.772285429742777 × 6371000     		du = 471.751697740775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68829141)-sin(-0.68836546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.772285429742777)×R²
    abs(-0.40027311--0.40036899)×4.70400481658029e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70400481658029e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70400481658029e-05×40589641000000     		ar = 222566.279581783m²