Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28590 / 4522
↖ ↑ ↗
← N 78.255861°
E134.099121°		 ← 248.64 m → N 78.255861°
E134.110107°		 →
↑
248.66 m
↓
↑
248.66 m
↓
N 78.253625°
E134.099121°		 ← 248.69 m →
61 833 m²		 N 78.253625°
E134.110107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872512817382812 y=0.138015747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872512817382812 × 215)
    floor (0.872512817382812 × 32768)
    floor (28590.5)     		tx = 28590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138015747070312 × 215)
    floor (0.138015747070312 × 32768)
    floor (4522.5)     		ty = 4522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28590 / 4522 ti = "15/28590/4522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28590/4522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28590 ÷ 215
    28590 ÷ 32768     		x = 0.87249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4522 ÷ 215
    4522 ÷ 32768     		y = 0.13800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87249755859375 × 2 - 1) × π
    0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13800048828125 × 2 - 1) × π
    0.7239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27451001317242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34047119} λ = 2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27451001317242))-π/2
    2×atan(9.72315362796719)-π/2
    2×1.46830937735411-π/2
    2.93661875470822-1.57079632675     		φ = 1.36582243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36582243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.255861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28590 KachelY 4522 2.34047119 1.36582243 134.099121 78.255861
    Oben rechts KachelX + 1 28591 KachelY 4522 2.34066293 1.36582243 134.110107 78.255861
    Unten links KachelX 28590 KachelY + 1 4523 2.34047119 1.36578340 134.099121 78.253625
    Unten rechts KachelX + 1 28591 KachelY + 1 4523 2.34066293 1.36578340 134.110107 78.253625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36582243-1.36578340) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dl = 248.660129999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36582243-1.36578340) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dr = 248.660129999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34047119-2.34066293) × cos(1.36582243) × R
    0.000191739999999996 × 0.20354160320574 × 6371000     		do = 248.641443848513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34047119-2.34066293) × cos(1.36578340) × R
    0.000191739999999996 × 0.203579816008308 × 6371000     		du = 248.688123673444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36582243)-sin(1.36578340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20354160320574-0.203579816008308)×R²
    abs(2.34066293-2.34047119)×3.82128025672723e-05×R²
    0.000191739999999996×3.82128025672723e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.82128025672723e-05×40589641000000     		ar = 61833.0174642321m²