Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28590 / 43442
↖ ↑ ↗
← S 50.464498°
W 22.950439°		 ← 388.80 m → S 50.464498°
W 22.944946°		 →
↑
388.82 m
↓
↑
388.82 m
↓
S 50.467994°
W 22.950439°		 ← 388.77 m →
151 169 m²		 S 50.467994°
W 22.944946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436256408691406 y=0.662879943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436256408691406 × 216)
    floor (0.436256408691406 × 65536)
    floor (28590.5)     		tx = 28590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662879943847656 × 216)
    floor (0.662879943847656 × 65536)
    floor (43442.5)     		ty = 43442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28590 / 43442 ti = "16/28590/43442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28590/43442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28590 ÷ 216
    28590 ÷ 65536     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43442 ÷ 216
    43442 ÷ 65536     		y = 0.662872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.32574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02335693308896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02335693308896))-π/2
    2×atan(0.359386476587247)-π/2
    2×0.345012341083788-π/2
    0.690024682167576-1.57079632675     		φ = -0.88077164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88077164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.464498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28590 KachelY 43442 -0.40056073 -0.88077164 -22.950439 -50.464498
    Oben rechts KachelX + 1 28591 KachelY 43442 -0.40046486 -0.88077164 -22.944946 -50.464498
    Unten links KachelX 28590 KachelY + 1 43443 -0.40056073 -0.88083267 -22.950439 -50.467994
    Unten rechts KachelX + 1 28591 KachelY + 1 43443 -0.40046486 -0.88083267 -22.944946 -50.467994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88077164--0.88083267) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dl = 388.822130000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88077164--0.88083267) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dr = 388.822130000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(-0.88077164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		do = 388.800755083012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(-0.88083267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		du = 388.772005687047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88077164)-sin(-0.88083267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636556221620188-0.636509152249488)×R²
    abs(-0.40046486--0.40056073)×4.70693707005365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70693707005365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70693707005365e-05×40589641000000     		ar = 151168.748583239m²