Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28590 / 37021
↖ ↑ ↗
← N 61.400663°
W101.475220°		 ← 146.17 m → N 61.400663°
W101.472473°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 61.399349°
W101.475220°		 ← 146.18 m →
21 373 m²		 N 61.399349°
W101.472473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218128204345703 y=0.282451629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218128204345703 × 217)
    floor (0.218128204345703 × 131072)
    floor (28590.5)     		tx = 28590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282451629638672 × 217)
    floor (0.282451629638672 × 131072)
    floor (37021.5)     		ty = 37021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28590 / 37021 ti = "17/28590/37021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28590/37021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28590 ÷ 217
    28590 ÷ 131072     		x = 0.218124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37021 ÷ 217
    37021 ÷ 131072     		y = 0.282447814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.563751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77107669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282447814941406 × 2 - 1) × π
    0.435104370117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.3669206926659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77107669} λ = -1.77107669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3669206926659))-π/2
    2×atan(3.92325117983604)-π/2
    2×1.32122003246407-π/2
    2.64244006492814-1.57079632675     		φ = 1.07164374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77107669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07164374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.400663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28590 KachelY 37021 -1.77107669 1.07164374 -101.475220 61.400663
    Oben rechts KachelX + 1 28591 KachelY 37021 -1.77102876 1.07164374 -101.472473 61.400663
    Unten links KachelX 28590 KachelY + 1 37022 -1.77107669 1.07162079 -101.475220 61.399349
    Unten rechts KachelX + 1 28591 KachelY + 1 37022 -1.77102876 1.07162079 -101.472473 61.399349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07164374-1.07162079) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07164374-1.07162079) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77107669--1.77102876) × cos(1.07164374) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.478681691501775 × 6371000     		do = 146.171213040228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77107669--1.77102876) × cos(1.07162079) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.478701841212206 × 6371000     		du = 146.177365996709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07164374)-sin(1.07162079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478681691501775-0.478701841212206)×R²
    abs(-1.77102876--1.77107669)×2.01497104311832e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.01497104311832e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.01497104311832e-05×40589641000000     		ar = 21372.7933469235m²