Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28590 / 22666
↖ ↑ ↗
← N 48.421910°
W 22.950439°		 ← 405.34 m → N 48.421910°
W 22.944946°		 →
↑
405.39 m
↓
↑
405.39 m
↓
N 48.418264°
W 22.950439°		 ← 405.37 m →
164 327 m²		 N 48.418264°
W 22.944946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436256408691406 y=0.345863342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436256408691406 × 216)
    floor (0.436256408691406 × 65536)
    floor (28590.5)     		tx = 28590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345863342285156 × 216)
    floor (0.345863342285156 × 65536)
    floor (22666.5)     		ty = 22666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28590 / 22666 ti = "16/28590/22666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28590/22666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28590 ÷ 216
    28590 ÷ 65536     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22666 ÷ 216
    22666 ÷ 65536     		y = 0.345855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345855712890625 × 2 - 1) × π
    0.30828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.968517119923615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968517119923615))-π/2
    2×atan(2.63403560297167)-π/2
    2×1.20795904414539-π/2
    2.41591808829078-1.57079632675     		φ = 0.84512176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84512176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28590 KachelY 22666 -0.40056073 0.84512176 -22.950439 48.421910
    Oben rechts KachelX + 1 28591 KachelY 22666 -0.40046486 0.84512176 -22.944946 48.421910
    Unten links KachelX 28590 KachelY + 1 22667 -0.40056073 0.84505813 -22.950439 48.418264
    Unten rechts KachelX + 1 28591 KachelY + 1 22667 -0.40046486 0.84505813 -22.944946 48.418264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84512176-0.84505813) × R
    6.36300000000922e-05 × 6371000     		dl = 405.386730000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84512176-0.84505813) × R
    6.36300000000922e-05 × 6371000     		dr = 405.386730000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(0.84512176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663640204604425 × 6371000     		do = 405.343320652671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(0.84505813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663687801804759 × 6371000     		du = 405.372392440522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84512176)-sin(0.84505813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663640204604425-0.663687801804759)×R²
    abs(-0.40046486--0.40056073)×4.7597200334315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7597200334315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7597200334315e-05×40589641000000     		ar = 164326.696000772m²