Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28589 / 8830
↖ ↑ ↗
← N 78.492743°
W 22.955933°		 ← 121.86 m → N 78.492743°
W 22.950439°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
N 78.491648°
W 22.955933°		 ← 121.87 m →
14 845 m²		 N 78.491648°
W 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436241149902344 y=0.134742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436241149902344 × 216)
    floor (0.436241149902344 × 65536)
    floor (28589.5)     		tx = 28589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134742736816406 × 216)
    floor (0.134742736816406 × 65536)
    floor (8830.5)     		ty = 8830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28589 / 8830 ti = "16/28589/8830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28589/8830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28589 ÷ 216
    28589 ÷ 65536     		x = 0.436233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8830 ÷ 216
    8830 ÷ 65536     		y = 0.134735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436233520507812 × 2 - 1) × π
    -0.127532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40065661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134735107421875 × 2 - 1) × π
    0.73052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29502700620981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40065661} λ = -0.40065661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29502700620981))-π/2
    2×atan(9.92470403730568)-π/2
    2×1.4703765703484-π/2
    2.9407531406968-1.57079632675     		φ = 1.36995681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40065661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.955933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36995681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.492743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28589 KachelY 8830 -0.40065661 1.36995681 -22.955933 78.492743
    Oben rechts KachelX + 1 28590 KachelY 8830 -0.40056073 1.36995681 -22.950439 78.492743
    Unten links KachelX 28589 KachelY + 1 8831 -0.40065661 1.36993769 -22.955933 78.491648
    Unten rechts KachelX + 1 28590 KachelY + 1 8831 -0.40056073 1.36993769 -22.950439 78.491648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36995681-1.36993769) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36995681-1.36993769) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(1.36995681) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.199492043040707 × 6371000     		do = 121.860009739701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(1.36993769) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.199510778681654 × 6371000     		du = 121.871454433702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36995681)-sin(1.36993769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199492043040707-0.199510778681654)×R²
    abs(-0.40056073--0.40065661)×1.873564094651e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.873564094651e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.873564094651e-05×40589641000000     		ar = 14844.8937935274m²