Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28589 / 40475
↖ ↑ ↗
← S 38.938048°
W 22.955933°		 ← 475.14 m → S 38.938048°
W 22.950439°		 →
↑
475.09 m
↓
↑
475.09 m
↓
S 38.942321°
W 22.955933°		 ← 475.11 m →
225 723 m²		 S 38.942321°
W 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436241149902344 y=0.617607116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436241149902344 × 216)
    floor (0.436241149902344 × 65536)
    floor (28589.5)     		tx = 28589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617607116699219 × 216)
    floor (0.617607116699219 × 65536)
    floor (40475.5)     		ty = 40475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28589 / 40475 ti = "16/28589/40475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28589/40475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28589 ÷ 216
    28589 ÷ 65536     		x = 0.436233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40475 ÷ 216
    40475 ÷ 65536     		y = 0.617599487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436233520507812 × 2 - 1) × π
    -0.127532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40065661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.235198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.738899370743546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40065661} λ = -0.40065661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738899370743546))-π/2
    2×atan(0.477639330145432)-π/2
    2×0.445599589117364-π/2
    0.891199178234728-1.57079632675     		φ = -0.67959715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40065661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.955933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67959715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.938048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28589 KachelY 40475 -0.40065661 -0.67959715 -22.955933 -38.938048
    Oben rechts KachelX + 1 28590 KachelY 40475 -0.40056073 -0.67959715 -22.950439 -38.938048
    Unten links KachelX 28589 KachelY + 1 40476 -0.40065661 -0.67967172 -22.955933 -38.942321
    Unten rechts KachelX + 1 28590 KachelY + 1 40476 -0.40056073 -0.67967172 -22.950439 -38.942321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67959715--0.67967172) × R
    7.4569999999996e-05 × 6371000     		dl = 475.085469999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67959715--0.67967172) × R
    7.4569999999996e-05 × 6371000     		dr = 475.085469999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(-0.67959715) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.777825964918395 × 6371000     		do = 475.136141853068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(-0.67967172) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.777779097022511 × 6371000     		du = 475.107512529503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67959715)-sin(-0.67967172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777825964918395-0.777779097022511)×R²
    abs(-0.40056073--0.40065661)×4.68678958837065e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.68678958837065e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.68678958837065e-05×40589641000000     		ar = 225723.476683113m²