Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28589 / 22658
↖ ↑ ↗
← N 48.451066°
W 22.955933°		 ← 405.15 m → N 48.451066°
W 22.950439°		 →
↑
405.13 m
↓
↑
405.13 m
↓
N 48.447422°
W 22.955933°		 ← 405.18 m →
164 146 m²		 N 48.447422°
W 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436241149902344 y=0.345741271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436241149902344 × 216)
    floor (0.436241149902344 × 65536)
    floor (28589.5)     		tx = 28589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345741271972656 × 216)
    floor (0.345741271972656 × 65536)
    floor (22658.5)     		ty = 22658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28589 / 22658 ti = "16/28589/22658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28589/22658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28589 ÷ 216
    28589 ÷ 65536     		x = 0.436233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22658 ÷ 216
    22658 ÷ 65536     		y = 0.345733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436233520507812 × 2 - 1) × π
    -0.127532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40065661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345733642578125 × 2 - 1) × π
    0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40065661} λ = -0.40065661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969284110317535))-π/2
    2×atan(2.63605665794219)-π/2
    2×1.20821347396859-π/2
    2.41642694793718-1.57079632675     		φ = 0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40065661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.955933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28589 KachelY 22658 -0.40065661 0.84563062 -22.955933 48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 28590 KachelY 22658 -0.40056073 0.84563062 -22.950439 48.451066
    Unten links KachelX 28589 KachelY + 1 22659 -0.40065661 0.84556703 -22.955933 48.447422
    Unten rechts KachelX + 1 28590 KachelY + 1 22659 -0.40056073 0.84556703 -22.950439 48.447422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84563062-0.84556703) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dl = 405.131890000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84563062-0.84556703) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dr = 405.131890000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(0.84563062) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 405.153025818573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40065661--0.40056073) × cos(0.84556703) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.663307053747442 × 6371000     		du = 405.182095476268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84563062)-sin(0.84556703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663307053747442)×R²
    abs(-0.40056073--0.40065661)×4.75887488962101e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75887488962101e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75887488962101e-05×40589641000000     		ar = 164146.299666728m²