Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28588 / 8832
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
W 22.961426°		 ← 121.87 m → N 78.490552°
W 22.955933°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
N 78.489456°
W 22.961426°		 ← 121.88 m →
14 854 m²		 N 78.489456°
W 22.955933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436225891113281 y=0.134773254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436225891113281 × 216)
    floor (0.436225891113281 × 65536)
    floor (28588.5)     		tx = 28588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134773254394531 × 216)
    floor (0.134773254394531 × 65536)
    floor (8832.5)     		ty = 8832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28588 / 8832 ti = "16/28588/8832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28588/8832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28588 ÷ 216
    28588 ÷ 65536     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8832 ÷ 216
    8832 ÷ 65536     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28588 KachelY 8832 -0.40075248 1.36991856 -22.961426 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 28589 KachelY 8832 -0.40065661 1.36991856 -22.955933 78.490552
    Unten links KachelX 28588 KachelY + 1 8833 -0.40075248 1.36989943 -22.961426 78.489456
    Unten rechts KachelX + 1 28589 KachelY + 1 8833 -0.40065661 1.36989943 -22.955933 78.489456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36989943) × R
    1.91299999998673e-05 × 6371000     		dl = 121.877229999155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36989943) × R
    1.91299999998673e-05 × 6371000     		dr = 121.877229999155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40065661) × cos(1.36991856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 121.870193042792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40065661) × cos(1.36989943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199548269342492 × 6371000     		du = 121.881642439057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36989943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.199548269342492)×R²
    abs(-0.40065661--0.40075248)×1.87452939093835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87452939093835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87452939093835e-05×40589641000000     		ar = 14853.899258508m²